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Funktionen

Zusammengesetzte Funktionen



Erklärung

Einleitung

Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich der Funktion genau einen y-Wert zuordnet. Funktionen können beschrieben werden durch

  • eine Zuordnungsvorschrift
  • einen Funktionsterm
  • eine Wertetabelle
  • einen Graphen in einem Kooridnatensystem, der alle Punkte der Funktion darstellt.
Es gibt verschiedene Funktionsklassen, zum Beispiel In diesem Abschnitt lernst du, wie du aus zwei gegebenen Funktionen eine neue Funktion durch Zusammensetzen oder Verkettung erzeugst.

Aus zwei Funktionen und kann auf unterschiedliche Arten eine neue Funktion definiert werden:
  • Die Funktionen und werden hintereinander ausgeführt. Man schreibt: oder auch manchmal .
  • Die Funktionen und können durch Rechenoperationen wie Addition, Multiplikation die neue Funktion definieren. Zum Beispiel .

In der folgenden Abbildung sind die Graphen und zweier Funktionen und gegeben.
Auch ohne Kenntnis der Funktionsterme kann man nur aus den Graphen Erkenntnisse über zusammengesetzte Funktionen wie zum Beispiel und mit
gewinnen. Beispielsweise:
  • Bei allen Nullstellen der Funktionen und hat auch eine Nullstelle, da die Funktionswerte von aus der Multiplikation der Funktionswerte von und entstehen.
Für muss dies nicht gelten.
  • Es gilt
  • Es gilt .
Sind die Funktionsterme von und bekannt, kann man auch die Funktionsterme von zusammengesetzten Funktionen wie und aufstellen. In diesem Beispiel gilt und . Somit ergeben sich für und :
Die zugehörigen Graphen der beiden zusammengesetzten Funktionen und sehen ziemlich unterschiedlich aus wie folgende Abbildungen zeigen.

Beispiel

In der folgenden Abbildung sind die Graphen und zweier Funktionen und gegeben.
Auch ohne Kenntnis der Funktionsterme kann man nur aus den Graphen Erkenntnisse über zusammengesetzte Funktionen wie zum Beispiel und mit
gewinnen. Beispielsweise:
  • Bei allen Nullstellen der Funktionen und hat auch eine Nullstelle, da die Funktionswerte von aus der Multiplikation der Funktionswerte von und entstehen.
Für muss dies nicht gelten.
  • Es gilt .
Sind die Funktionsterme von und bekannt, kann man auch die Funktionsterme von zusammengesetzten Funktionen wie und aufstellen. In diesem Beispiel gilt und . Somit ergibt sich für und :
Die zugehörigen Graphen und der beiden zusammengesetzten Funktionen und sehen ziemlich unterschiedlich aus, wie folgende Abbildungen zeigen.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen und . Die Funktionen und werden wie folgt definiert:

  1. Gib die Funktionsterme von und an.
  2. Berechne und .
  3. Berechne , wobei gilt und begründe deine Lösung.

Lösung zu Aufgabe 1

  3. Alle Quadrate natürlicher Zahlen sind ganze Zahlen, einige gerade, einige ungerade. Mit zwei multipliziert ergeben sich nur noch gerade ganze Zahlen. Das Argument des Cosinus ist also immer ein gerades ganzzahliges Vielfaches von , insofern gilt:
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

In der Abbildung sind die Graphen und einer linearen Funktionen und einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades dargestellt.

  1. Bestimme .
  2. Bestimme ein so, dass gilt.
  3. Entscheide begründet, wie viele Nullstellen die Funktion mit besitzt.
  4. Gib den Grad der ganzrationalen Funktionen und mit
    an. Begründe deine Antwort.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Aus dem Graphen von kann man ablesen. Danach braucht man nur noch aus dem Graphen von abzulesen und erhält als Lösung .
  2. Da das Endergebnis zwei sein soll, muss man zunächst die Stelle suchen an der gilt. Dies ist der Fall an der Stelle eins. Jetzt muss man einen -Wert suchen, so dass gilt . Dies ist bei und der Fall.
  3. Da die Graphen der Funktionen und genau zwei Schnittpunkte haben, ergibt sich aus der Definition von , dass der Graph von genau zwei Nullstellen besitzen muss.
  4. Die Funktion entsteht durch eine Subtraktion einer linearen Funktion von einer quadratischen Funktion. Der Grad von ist also zwei. Die Funktion entsteht durch eine Multiplikation der genannten Funktionen, es ergibt sich also der Grad drei, da die höchste Potenz somit ist.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen und . Die Funktionen und werden wie folgt definiert:

  1. Gib die Funktionsterme von und an.
  2. Berechne und .
  3. Bestimme die Nullstellen von und .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Es gelten:
  3. Die Nullstellen der Funktion sind die Lösungen der Gleichung
    Mit der --Formel / Mitternachtsformel erhält man:
    Da unter der Wurzel ein negativer Ausdruck steht, gibt es keine Lösung, also hat keine Nullstellen. Die Nullstellen der Funktion sind die Lösungen der Gleichung
    Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen dieser Gleichung gegeben durch
    Damit hat die Funktion eine Nullstelle bei .

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Funktionen , und durch

  1. Bestimme die Funktionsterme der Funktionen
    und vereinfache sie.
  2. Bestimme die Funktionsterme der Funktionen
    unter Zuhilfenahme der Teilaufgabe (a).

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Für gilt:
    Für gilt:
    Für gilt:
    Für gilt:
    Für gilt:
    Für gilt:
  2. Für gilt:
    Für gilt:
    Für gilt:
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 11:34:02 Uhr