Erklärung
Grundlegendes
- Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynome.
- Die höchste auftretende Potenz
heißt Grad der Funktion , kurz: . - Eine ganzrationale Funktion vom Grad
hat höchstens Nullstellen.
Im Schaubild kann man erkennen, dass der Graph von
Verhalten im Unendlichen
- Geht der Term gegen
, geht gegen .
- Geht der Term gegen
, geht gegen .
Wir betrachten erneut das obige Beispiel:
- Für
geht , also . - Für
geht , also .
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme den Grad der folgenden ganzrationalen Funktionen.
Lösung zu Aufgabe 1
Es gelten:
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Gib ohne Rechnung eine ganzrationale Funktion
Lösung zu Aufgabe 2
Nach dem Satz vom Nullprodukt gilt, dass die Gleichung der Funktion
Betrachtet man nun die Vielfachheit, so fällt auf, dass der Term
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:- Warum ist
eine ganzrationale Funktion? - Was ist der Grad von
? - Was sind die Nullstellen von
? - Wie verhält sich die Funktion
im Unendlichen?
Lösung zu Aufgabe 3
- Ausmultiplizieren des Terms liefert die Standardform einer ganzrationalen Funktion:
- Der Grad von
ist 3. - Zur Bestimmung der Nullstellen verwendet man am besten die ursprüngliche Darstellung.
Mit dem Satz vom Nullprodukt kann direkt abgelesen werden:
, , . - Für das Verhalten im Unendlichen ist die höchste Potenz von
maßgeblich. Betrachte also :
- Für
geht , also - Für
geht , also
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Entscheide, welche der folgenden Funktionen hier jeweils graphisch dargestellt ist. Begründe deine Entscheidung.
Lösung zu Aufgabe 4
-
Wenn man den
-Achsenabschnitt betrachtet, fällt auf, dass dieser bei liegt. Das Absolutglied muss also betragen. Damit ist im Schaubild nicht der Graph der Funktion abgebildet.
Der Graph ist symmetrisch zur-Achse. Die Exponenten müssen also alle gerade sein, weswegen im Schaubild nicht der Graph von der Funktion abgebildet ist.
Folgende Funktionen sind also noch übrig:Da der Graph der Funktion drei Extrempunkte -- zwei Tiefpunkte und einen Hochpunkt -- besitzt, muss der Grad mindestensbetragen. Damit bleibt nur noch die Funktion übrig.
Im Schaubild ist also der Graph der Funktionabgebildet. -
Da der
-Achsenabschnitt beträgt, muss das Absolutglied sein. Damit ist im Schaubild nicht der Graph der Funktion abgebildet.
Wie man am Schaubild erkennen kann, hat die Funktion zwei Extrempunkte und einen Sattelpunkt. Die Ableitung der dargestellten Funktion muss also mindestens drei Nullstellen haben. Der Grad dieser Funktion ist also mindestens.
Wenn aber nun die Ableitung mindestens Gradhat, muss die Funktion selbst mindestens Grad haben und damit entfällt .
Folgende Funktionen sind also noch übrig:Als letzten Schritt betrachtet man die Schnittpunkte mit der-Achse. Diese muss man hier nicht zwingend ausrechnen. Es genügt, zu überlegen, wie viele Nullstellen die beiden Funktionen haben. Eine der beiden Funktionen muss die Funktion auf dem Schaubild sein, und daher drei Nullstellen haben.
Die Nullstellen vonsind gegeben durch: Wie man sieht, hatnur eine Nullstelle.
Im Schaubild ist also der Graph der Funktionabgebildet.