Erklärung
Die Sinusfunktion
- Für alle
gilt: . - Die Sinusfunktion hat die Periode
. Es gilt also: . - Die Nullstellen von
sind (allgemein: mit ).
Eine typische Aufgabenstellung könnte folgendermaßen aussehen:
Die Kosinusfunktion
- Für alle
gilt: . - Die Kosinusfunktion hat die Periode
. Es gilt also: . - Die Nullstellen von
sind
Hinweis
Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem der Graph der Sinusfunktion um
Auch zur Kosinusfunktion betrachten wir ein Beispiel:
Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
- Die Amplitude
bestimmt den maximalen Ausschlag der Nulllinie in -Richtung. - Die Periode
bestimmt die Periodenlänge . - Die Phasenverschiebung
bewirkt eine Verschiebung entlang der -Achse, nach links für und nach rechts für . - Der Parameter
bestimmt die Verschiebung in -Richtung.
Hinweis
Dies gilt genau so für die Kosinusfunktion.
In einigen Aufgabenstellungen sollen die Amplitude, die Periode oder die Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion bestimmt werden. Einige Eigenschaften lassen sich direkt ablesen, andere müssen durch Umformungen bestimmt werden. Wie das funktioniert, zeigen wir dir in folgendem Beispiel:
- Amplitude:
- Periodenlänge:
- Verschiebung nach rechts:
- Verschiebung nach oben:
.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:
Lösung zu Aufgabe 1
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:
Lösung zu Aufgabe 2
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist die Funktion
Lösung zu Aufgabe 3
- Wird das Schaubild von
um den Faktor in Richtung der -Achse gestreckt, so erhält man das Schaubild von: - Wird das Schaubild von
um Längeneinheiten nach unten verschoben, erhält man das Schaubild von: - Wird das Schaubild von
um den Faktor in -Richtung gestaucht, erhält man das Schaubild von: - Wird dann das Schaubild von
um Längeneinheiten nach rechts verschoben, so erhält man schließlich das Schaubild der Funktion:
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Skizziere die Graphen folgender Funktionen.
Lösung zu Aufgabe 4
- Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
Nun kann abgelesen werden: - Amplitude:
- Periodenlänge:
- Verschiebung nach links:
- Verschiebung nach unten:
Nun kann das Schaubild skizziert werden.
- Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
Nun kann abgelesen werden:
- Amplitude:
- Periodenlänge:
- Verschiebung nach links:
- Verschiebung nach oben:
Nun kann das Schaubild skizziert werden.
Aufgabe 5
- Schwierigkeitsgrad:Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen.
Lösung zu Aufgabe 5
-
Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
Nun kann abgelesen werden:
- Amplitude:
- Periodenlänge:
- Verschiebung nach rechts:
- Verschiebung nach oben:
Nun kann das Schaubild skizziert werden.
-
Bringe den Funktionsterm zunächst auf die Standardform:
Nun kann abgelesen werden:
- Amplitude:
- Periodenlänge:
- Verschiebung nach links:
- Verschiebung nach unten:
Nun kann das Schaubild skizziert werden.