Erklärung
Einleitung
Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Typische Aufgaben zur Abstandsberechnung behandeln den In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden im Raum berechnest.
Möglichkeit 1
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:-
Schritt 1: Stelle eine Hilfsebene
aus und dem Richtungsvektor von auf und wandle diese in Koordinatenfom um: -
Schritt 2: Berechne den Abstand zwischen
und Stützpunkt von Gerade : Der Abstand zwischenund beträgt Längeneinheiten.
Möglichkeit 2
Gegeben sind zwei windschiefe Geraden:-
Schritt 1: Stelle einen allgemeinen Verbindungsvektor
zwischen und auf: -
Schritt 2: Bestimme aus der Orthogonalität des Verbindungsvektors mit
den Richtungsvektoren der Geraden die Parameter
und : Daraus folgt: -
Schritt 3: Setze
und in den allgemeinen Verbindungsvektor ein: -
Schritt 4: Berechne die Länge von
. Es folgt: Der Abstand zwischenund beträgt 5 Längeneinheiten.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme jeweils die Abstände der windschiefen Geraden.
Lösung zu Aufgabe 1
-
Mit Möglichkeit 1:
- Hilfsebene
aus und Richtungsvektor von : - Abstand zwischen
und Stützpunkt von Gerade .
- Hilfsebene
-
Mit Möglichkeit 2
-
Schritt 1: Allgemeiner Verbindungsvektor
zwischen und : -
Schritt 2: Orthogonalität von
und Richtungsvektoren liefert und . Daraus folgt: -
Schritt 3: Setze
und in den allgemeinen Verbindungsvektor ein: -
Schritt 4: Berechne die Länge von
:
-
Schritt 1: Allgemeiner Verbindungsvektor
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Berechne die geringste Entfernung der Gerade
Lösung zu Aufgabe 2
Für die
Mit Möglichkeit 1:
-
Schritt 1: Hilfsebene
aus und Richtungsvektor von : -
Schritt 2: Abstand zwischen
und Stützpunkt von Gerade von :
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Zwei Läufer laufen auf einer Leichtathletikbahn. Läufer
- Läufer
benutzt seine Arme beim Laufen und schwingt diese nach vorne und nach hinten, aber auch nach rechts und nach links. Gemessen von der Körpermitte haben die Arme jeweils eine Länge von einem Meter. Gib eine sinnvolle Beschreibung an, wie viel Platz der Läufer bei seinem Lauf vereinnahmt und kläre, ob die Arme des Läufers jemals die Laufbahn von berühren. - Ein Seil ist direkt über der Laufbahn montiert entlang der Geraden
: Beide Läufer sind ungefährMeter groß. Wird einer der beiden Läufer das Seil berühren?
Lösung zu Aufgabe 3
-
Der Läufer
lässt seine Arme einen Meter nach links und rechts schwingen (gemessen von der Körpermitte). Dann braucht er eine Bahn, die mindestens zwei Meter breit ist. Sie wird beschrieben, durch zwei Geraden und links und rechts seiner Laufbahn, die parallel zur ihr sind und jeweils einen Abstand von einem Meter haben. Es werden zunächst zwei Punkte links und rechts der Bahn mit einem Abstand von je einem Meter berechnet. Dafür wird der der Vektor benötigt, der senkrecht zu der Laufrichtung ist. Da der Läufer sich nicht nach oben und unten bewegt, ist dieser gegeben durch Die beiden Punkte erhält man nun alsDie beiden begrenzenden Geraden sind folglichUm zu klären, ob die Arme vonje die Laufbahn von berühren, berechnen wir den Abstand zwischen den beiden parallelen Laufbahnen und . - Hilfsebene
mit und Normalenvektor lautet: - Schnittpunkt
von und berechnen. Hierzu in einsetzen: Damit gilt: - Abstand von
zu berechnen:
Der Abstand zwischen den Laufbahnen beträgt ca.
und folglich kann der Läufer die Laufbahn von nicht berühren. Wenn sie allerdings beide Armbewegungen nach außen machen, könnte es eng werden. - Hilfsebene
-
Die Gerade
ist windschief zu den Geraden und . Um zu klären, ob die Läufer das Seil berühren, müssen die Abstände und berechnet werden. mit Möglichkeit 1: - Hilfsebene
aus und Richtungsvektor von : - Abstand zwischen
und Stützpunkt von Gerade .
Auf die gleiche Weise erhält man für den anderen Läufer
Der Läufer sollte beim Laufen aufpassen; der Abstand zwischen seiner Bahn und dem Seil beträgt zwischendurch nur . Läufer sieht sich einer Hürde gegenüber. Das Seil kommt bis auf an seinen Laufweg heran. Wenn er nicht aufpasst, so kann er stolpern. - Hilfsebene