Erklärung
Einleitung
Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Typische Aufgaben zur Abstandsberechnung behandeln den
In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du den Abstand zwischen zwischen einem Punkt und einer Geraden in Parametergleichung im Raum berechnest.
Schritte
- Bestimme eine Hilfsebene
mit folgenden Eigenschaften: Der Normalenvektor von ist Richtungsvektor von und der Punkt liegt in . Setzein diese Ebenengleichung ein, um zu erhalten: - Bestimme den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) von
und : Dies ineingesetzt ergibt den Schnittpunkt - Berechne den Abstand zwischen Schnittpunkt
und : Damit ist der Abstand zwischenund bestimmt: .
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben sind die Geraden
Lösung zu Aufgabe 1
Wie im Merksatz werden die Abstände
- die Ebene
, den Lotfußpunkt , - den Abstand
Und analog für die Gerade
- die Ebene
, den Lotfußpunkt , - den Abstand
Die Gerade
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Yannick möchte seine Freundin Lara von seinen Schwimmkünsten überzeugen.
Lara sitzt am Punkt
- Lara ist kurzsichtig und trägt im Schwimmbad ihre Brille nicht.
Sie kann ohne Brille nur
weit gucken. Ein Meter entspricht dabei einer Längeneinheit. Kann Lara Yannick beim Schwimmen erkennen? - An dem Punkt
steht eine Gruppe von Mädchen. An welchem Punkt auf seiner Schwimmbahn kommt Yannick der Gruppe Mädchen am nächsten? Wie groß ist der Abstand zwischen Yannick und der Gruppe Mädchen an diesem Punkt?
Lösung zu Aufgabe 2
-
Wenn Lara Yannick zu irgendeinem Zeitpunkt erkennen soll, muss Yannick während des Schwimmens weniger als
von ihr entfernt sein. Wir berechnen also den Abstand von Laras Sitzplatz zu Yannicks Schwimmbahn. Der berechnete Abstand ist der minimale Abstand zwischen Lara und Yannick, während er schwimmt. - Die Ebene, die senkrecht zur Geraden
ist und durch den Punkt geht, ist - Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist
. - Der Abstand ist
Wie Yannick auch schwimmt, er wird Lara nie näher als kommen, wenn er seine Schwimmbahn nicht verlässt. Er wird sie also nicht beeindrucken können.
- Die Ebene, die senkrecht zur Geraden
-
Der Punkt auf der Geraden, der dem Punkt
am nächsten ist, ist der Lotfußpunkt. Das Vorgehen entspricht also wieder obigem Rezept. - Die Ebenengleichung, die durch
geht, ist - Den Lotfußpunkt, also der Punkt, an dem Yannick den Mädchen am nächsten ist,
erhält man, wenn man
in die Geradengleichung einsetzt: . - Der Abstand zwischen der Gruppe und Yannick beträgt dann
also
.
- Die Ebenengleichung, die durch
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben sind die Geraden
Lösung zu Aufgabe 3
Wie im Merksatz werden die Abstände
- die Ebene
, den Lotfußpunkt , - den Abstand
Und analog für die Gerade
- die Ebene
, den Lotfußpunkt , - den Abstand
Die Gerade ist also näher am Punkt als die Gerade .