Abstand

Abstand Punkt-Gerade

Mathe lernen
Geometrie
Abstand
Abstand Punkt-Gerade

Erklärung

Einleitung

Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Typische Aufgaben zur Abstandsberechnung behandeln den

In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du den Abstand zwischen zwischen einem Punkt und einer Geraden in Parametergleichung im Raum berechnest.

Gesucht ist der Abstand zwischen dem Punkt

$\KP[P]{5,1,1}Mathe-Abitur$

und der Geraden

$\begin{align}\DefGerade{g} \vektor{x}= \Vektor{-5\\-5\\5} +s \Vektor{3\\2\\-4},\quad s\in\R.\end{a...Mathe-Abitur$

Schritte

Bestimme eine Hilfsebene $HMathe-Abitur$ mit folgenden Eigenschaften: Der Normalenvektor von $HMathe-Abitur$ ist Richtungsvektor von $gMathe-Abitur$ und der Punkt $\KP[P]{5,1,1}Mathe-Abitur$ liegt in $HMathe-Abitur$ .
$\begin{align}\DefEbene{H} 3x_1+2x_2-4x_3=a.\end{align}Mathe-Abitur$
Setze $\KP[P]Mathe-Abitur$ in diese Ebenengleichung ein, um $aMathe-Abitur$ zu erhalten:
$\begin{align}3 \cdot 5+ 2 \cdot 1-4 \cdot 1 = 13 \folgt H: 3x_1+2x_2-4x_3=13.\end{align}Mathe-Abitur$
Bestimme den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) von $gMathe-Abitur$ und $HMathe-Abitur$ :
$\begin{align}3(-5+3s)+2(-5+2s)-4(5-4s)=13 \folgt s=2.\end{align}Mathe-Abitur$
Dies in $gMathe-Abitur$ eingesetzt ergibt den Schnittpunkt
$\begin{align}\KP[S]{1,-1,-3}.\end{align}Mathe-Abitur$
Berechne den Abstand zwischen Schnittpunkt $\KP[S]Mathe-Abitur$ und $\KP[P]Mathe-Abitur$ :
$\begin{align}d(\KP[P];g)=d(\KP[P];\KP[S])=\left\vert \Vektor{5\\1\\1} - \Vektor{1\\-1\\-3}\right\ve...Mathe-Abitur$
Damit ist der Abstand zwischen $\KP[P]Mathe-Abitur$ und $gMathe-Abitur$ bestimmt: $d(\KP[P];g)=6Mathe-Abitur$ .

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Geraden

Zu welcher Gerade hat

den kürzeren Abstand?

Lösung zu Aufgabe 1

Wie im Merksatz werden die Abstände und berechnet. Für die Gerade erhält man:

die Ebene ,
den Lotfußpunkt ,
den Abstand

Und analog für die Gerade :

die Ebene ,
den Lotfußpunkt ,
den Abstand

Die Gerade ist also näher am Punkt als die Gerade .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Yannick möchte seine Freundin Lara von seinen Schwimmkünsten überzeugen. Lara sitzt am Punkt und Yannick schwimmt entlang der Geraden

Lara ist kurzsichtig und trägt im Schwimmbad ihre Brille nicht. Sie kann ohne Brille nur weit gucken. Ein Meter entspricht dabei einer Längeneinheit. Kann Lara Yannick beim Schwimmen erkennen?
An dem Punkt steht eine Gruppe von Mädchen. An welchem Punkt auf seiner Schwimmbahn kommt Yannick der Gruppe Mädchen am nächsten? Wie groß ist der Abstand zwischen Yannick und der Gruppe Mädchen an diesem Punkt?

Lösung zu Aufgabe 2

Wenn Lara Yannick zu irgendeinem Zeitpunkt erkennen soll, muss Yannick während des Schwimmens weniger als von ihr entfernt sein. Wir berechnen also den Abstand von Laras Sitzplatz zu Yannicks Schwimmbahn. Der berechnete Abstand ist der minimale Abstand zwischen Lara und Yannick, während er schwimmt.
- Die Ebene, die senkrecht zur Geraden ist und durch den Punkt geht, ist
- Der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden ist .
- Der Abstand ist Wie Yannick auch schwimmt, er wird Lara nie näher als kommen, wenn er seine Schwimmbahn nicht verlässt. Er wird sie also nicht beeindrucken können.
Der Punkt auf der Geraden, der dem Punkt am nächsten ist, ist der Lotfußpunkt. Das Vorgehen entspricht also wieder obigem Rezept.
- Die Ebenengleichung, die durch geht, ist
- Den Lotfußpunkt, also der Punkt, an dem Yannick den Mädchen am nächsten ist, erhält man, wenn man in die Geradengleichung einsetzt: .
- Der Abstand zwischen der Gruppe und Yannick beträgt dann
  also .

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Geraden

Zu welcher Gerade hat

den kürzeren Abstand?

Lösung zu Aufgabe 3

Wie im Merksatz werden die Abstände und berechnet. Für die Gerade erhält man:

die Ebene ,
den Lotfußpunkt ,
den Abstand

Und analog für die Gerade :

die Ebene ,
den Lotfußpunkt ,
den Abstand Die Gerade ist also näher am Punkt als die Gerade .

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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 13:57:07 Uhr