Abstand Ebene-Ebene

Einleitung

Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Typische Aufgaben zur Abstandsberechnung behandeln den

In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du den Abstand zwischen zwei Ebenen im Raum berechnest. Dabei spielt es eine wesentliche Rolle, wie die Ebenen zueinander liegen.

Der Abstand zwischen zwei Ebenen

und

, die

identisch sind, ist null.
sich in einer Geraden schneiden, ist null
die parallel zueinander verlaufen, ist der Abstand zwischen und einem beliebigen Punkt auf .

Berechne den Abstand der parallelen Ebenen

und

:

Der Punkt

befindet sich auf der Ebene

und der Abstand lässt sich errechnen aus:

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Heribert und sein Schwarm Louise befinden sich in einem Zauberschloss mit vielen verschiedenen parallelen Stockwerken. Heribert befindet sich auf dem Stockwerk, welches in der Ebene liegt und Louise auf dem Stockwerk in der Ebene . Jedes Stockwerk ist genau eine Längeneinheit hoch.

Wie weit ist Heribert zu jedem Zeitpunkt mindestens von Louise entfernt?
Um seinem Schwarm näher zu kommen, steigt Heribert am Punkt in einen Aufzug. Der Aufzug fährt entlang einer Geraden, die orthogonal zu den Stockwerken verläuft. Stelle eine Gleichung der Geraden auf, innerhalb derer der Aufzug sich bewegt.
Heribert fährt in dem Aufzug 10 Stockwerke in Richtung von Louise. Gib die Ebenengleichung des Stockwerks an, in dem sich Heribert jetzt befindet. Wie weit ist Heribert jetzt mindestens von Louise entfernt?
Louise steht nun direkt am Fahrstuhlausgang auf ihrem Stockwerk. An welchem Koordinatenpunkt befindet sich Louise?

Lösung zu Aufgabe 1

Gesucht ist der Abstand der Ebenen und . Der Punkt liegt in und es gilt:
Der Abstand zwischen den beiden beträgt mindestens .
Da sich der Aufzug senkrecht zu den Stockwerken bewegt, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebenen, in welchen sich die Stockwerke befinden. Diesen kann man beispielsweise bei ablesen:
Als Aufpunkt der Gerade kann Heriberts Startpunkt gewählt werden. Die Geradengleichung lautet:
Um herauszufinden, in welche Richtung Heribert fahren muss, werden zwei beliebige Punkte in den jeweiligen Ebenen betrachtet. Setzt man beispielsweise , so kann man erkennen, dass sich in Heriberts Ebene der Punkt und in Louises Ebene der Punkt befindet. Folglich muss sich Heribert entlang der (positiven) Richtung des Vektors bewegen. Die Länge von ist gegeben durch:
Heribert bewegt sich zehn Stockwerke in Louises Richtung, also ist seine neue Position gegeben durch:
Um herauszufinden, in welchem Stockwerk seine neue Position ist, wird eine Punktprobe mit durchgeführt:
Heribert befindet sich nun in der Ebene
Da er sich zehn Längeneinheiten in Louises Richtung bewegt hat und vorher mindestens 21 Längeneinheiten von ihr entfernt war, ist er jetzt noch mindestens 11 Längeneinheiten von ihr entfernt.
In Heriberts Etage hält der Fahrstuhl am Punkt . Um die Position des Fahrstuhls auf Louises Etage zu berechnen, muss der Geradenvektor mit Länge 21 auf den Punkt addiert werden. Da erhält man den Punkt, an dem Louise wartet wie folgt:
Louise wartet also im Punkt .