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Abstand

Abstand Gerade-Ebene



Erklärung

Einleitung

Der Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten im Raum ist die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Typische Aufgaben zur Abstandsberechnung behandeln den

In diesem Artikel möchten wir dir zeigen, wie du den Abstand zwischen einer Gerade und einer Ebene im Raum berechnest. Dabei spielt es eine wesentliche Rolle, wie Gerade und Ebene zueinander liegen.

Der Abstand zwischer einer Ebene und
  • einer Gerade , die in der Ebene liegt, ist null.
  • einer Gerade , die die Ebene in einem Punkt schneidet, ist null.
  • einer Gerade, die parallel zur Ebene verläuft, ist der Abstand eines beliebigen Punktes auf zur Ebene .
Beachte, dass man den Abstand auf diese Weise nur berechnen kann, wenn die Gerade und die Ebene parallel sind.

Berechne den Abstand der Ebene und der parallel verlaufenden Geraden
Wähle hierzu einen beliebigen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel , und berechne seinen Abstand zu :

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind

Zeige, dass sich und nicht schneiden und berechne den Abstand dieser beiden Objekte.

Lösung zu Aufgabe 1

Die Ebene wird in Koordinatenform umgewandelt.

  • Normalenvektor
  • Ansatz für die Ebenengleichung:
  • Stützpunkt einsetzen und bestimmen:
    Die Koordinatenform der Ebene lautet
    Die Gerade ist parallel zur Ebene , da der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor ist:
    Nun kann der Abstand für einen beliebigen Punkt, beispielsweise auf der Geraden bestimmt werden:
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Geradenschar und die Ebene :

  1. Bestimme , sodass die Gerade und die Ebene parallel verlaufen.
  2. Berechne den Abstand dieser Geraden zur Ebene .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Wie zuvor wird die Ebene in Koordinatenform umgewandelt:

    Damit die Gerade die Ebene nicht schneidet, muss die Gerade parallel zur Ebene, der Richtungsvektor also senkrecht zum Normalenvektor, sein:

  2. Der Abstand von zur Ebene berechnet sich wie zuvor durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden:

    Für liegt die Gerade in der Ebene .

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Geradenschar und die Ebene :

  1. Bestimme , sodass die Gerade und die Ebene parallel verlaufen.
  2. Berechne den Abstand dieser Geraden zur Ebene .

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Zunächst wird die Ebene in Koordinatenform umgewandelt:

    Damit die Gerade die Ebene nicht schneidet, muss die Gerade parallel zur Ebene, der Richtungsvektor also senkrecht zum Normalenvektor, sein:

  2. Der Abstand von zur Ebene berechnet sich wie zuvor durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden:

    Für liegt die Gerade parallel zur Ebene .
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 13:58:57 Uhr