In diesem Artikel lernst du ableiten
Lernziele
Wenn du mathematisch verstehen möchtest, was Ableiten bzw. Differenzieren eigentlich ist, dann lese hier:
Ableitung
Eine Übersicht über die Ableitungen der Grundfunktionen
Die Ableitungen der wichtigsten Elementaren Funktionen und Regeln zum Nachschlagen
Wenn du mit den Ableitungsregeln noch nicht so vertraut bist, dann überspringe diesen Abschnitt.
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Kettenregel für
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Produktregel für
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Quotientenregel für
Die Ableitung von Polynomen (ganzrationale Funktionen)
Ohne das Ableiten von Polynomen geht nichts im Abi
Zunächst ein paar Beispiele von Funktionen und deren Ableitungsfunktionen. Die entsprechende Ableitungsregel kommt nach den Beispielen.
Dahinter stecken folgende Regeln für die Ableitung der Potenzfunktion.
- Die Ableitung von Konstanten (bspw.
) ist . - Vorfaktoren bleiben bei der Ableitung erhalten. Bspw. hat
die Ableitung - Summen werden getrennt abgeleitet. Wenn du bspw.
ableiten möchtest, dann kannst du die Ableitungen von und getrennt ausrechnen und addieren. Das führt zu .
Das Ableiten von Polynomen (oder ganzrationalen Funktionen) ist essentiell fürs Abi. Es wäre jammerschade und unnötig, wenn du da Fehler machen würdest. Darum hier ein paar Aufgaben zur Festigung. Dein Ziel sollte sein, dass du diese Aufgaben ohne Nachdenken fehlerfrei lösen kannst.
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die Ableitungen von
Lösung zu Aufgabe 1
. (Die Ableitung von ist , Konstanten fallen bei der Ableitung weg.) - Hier hilft es zunächst die Klammern auszumultiplizieren:
Jetzt kannst du die Funktion ableiten und erhältst:
.
Die Ableitung von e-Funktionen (Exponentialfunktionen)
Auch die Ableitung der Exponentialfunktion ist fürs Abi essentiell
Schau dir zunächst die folgenden Beispiele an. Die dahinterstehende Regel steht dann darunter.
Die Ableitungsregel für die Exponentialfunktion (e-Funktion) lautet:
- Die Ableitung von
ist . Die -Funktion und deren Ableitungsfunktion sind also identisch. - Die Ableitung von
ist
Formal gesehen benötigt das Ableiten von
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die Ableitungen von
Lösung zu Aufgabe 2
(Lass dich von nicht verwirren. Das ist nur eine Zahl - nämlich .) (Es ist )
Die Kettenregel verstehen und anwenden
Innere und äußere Funktionen erkennen.
Die Kettenregel benötigst du, wenn zwei Funktionen ineinander "verschachtelt" sind. Die Funktion
Wenn du in die innere Funktion anstelle von
- innere Funktion
und die - äußere Funktion:
.
Bevor die Kettenregel vorgestellt wird und du damit rechnen kannst, zunächst ein paar Übungsaufgaben, damit du das Erkennen der inneren und äußeren Funktion festigst:
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme jeweils die innere und äußere Funktion.
Lösung zu Aufgabe 3
- innere Funktion:
, äußere Funktion: - innere Funktion:
, äußere Funktion: - innere Funktion:
, äußere Funktion: - innere Funktion:
, äußere Funktion:
Die Kettenregel
Etwas flapsig lautet die Kettenregel:
Formaler kann man die Kettenregel so aufschreiben:
Hierzu ein Beispiel:
Die Kettenregel ist wichtig! In der folgenden Aufgabe kannst du ihre Anwendung üben. Weitere Übungsaufgaben findest du hier: Kettenregel
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Leite ab. (Hinweis: Die inneren und äußeren Funktionen hast du schon in Aufgabe 3 identifiziert.)
Lösung zu Aufgabe 4
Die Produktregel verstehen und anwenden
Um das Produkt von zwei Funktionen ableiten zu können, musst du die Produktregel anwenden. Diese lautet:
Hierzu ein Beispiel:
Wie bei der Kettenregel besteht auch bei der Produktregel die Kunst darin, zu erkennen, wann du sie anwenden musst. Hierzu eine Übungsaufgabe.
Aufgabe 5
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die Ableitungen von
Lösung zu Aufgabe 5
In den Lösungen bezeichnen
- Mit
folgt
- Mit
folgt
- Mit
folgt
- Hier musst du
und getrennt ableiten. Denn diese zwei Ausdrücke bilden in Summme die Funktion . Zunächst wird die Ableitung von bestimmt. Dabei istUnd damitDas war ja nur die Ableitung des zweiten Summanden von. Jetzt darf die Ableitung von nicht vergessen werden. Man erhält dann:
Ein Abi-Tipp für die Produktregel
Das ist wichtig, wenn du dann Extrem- oder Wendestellen berechnen musst. Hierzu ein Beispiel:
Angenommen, du musst die Extremstellen bestimmen von
Weitere Übungsaufgaben zur Produktregel findest du hier: Produktregel
Die Quotientenregel (für die, die sie kennen müssen)
Die Quotientenregel
Nicht in allen Bundesländer wird die Quotientenregel vorausgesetzt. Denn eigentlich braucht man sie gar nicht. Produkt- und Kettenregel genügen. Wer sie trotzdem wissen muss, hier ist sie:
Übungsaufgaben zur Quotientenregel findest du hier: Quotientenregel