Was du in diesem Artikel über die Ableitung lernst
Lernziele
Was die Ableitung mit Steigung zu tun hat
Was ist eine Steigung?
Die Ableitung
Ist die Steigung zum Beispiel gleich 2, so bedeutet dies: Wenn du einen Schritt nach rechts gehst, gehst du 2 Schritte nach oben.
Was ist die Steigung einer Funktion?
An jeder Stelle hat der Graph einer Funktion eine Steigung. Diese entspricht der Steigung einer Tangente, die du an diese Stelle legst.
So kannst du beispielsweise ablesen, dass der Graph der Parabel
Die Steigung einer Funktion
Was ist nun die Ableitung?
Die Ableitung ist eine Funktion. Sie wird mit einem kleinen Strich gekenzeichnet:
Die Ableitung
Beim Schaubild der Parabel
In der Grafik unten siehst du das ganze nochmal interaktiv. Du kannst den Bezugspunkt auf der x-Achse verschieben, um so zu sehen, wie sich daraus die Ableitung (orange) entwickelt.
Wie du Funktionen graphisch ableiten kannst
Die Steigung ablesen und zu einer Funktion ergänzen
Du kannst zu jedem gegebenen Schaubild einer Funktion
An Hoch-, Tief- und Sattelpunkten ist die Steigung beispielsweise 0. Wenn die Funktion
- Hat die Funktion
an der Stelle einen Hochpunkt, dann ist . Die Ableitungsfunktion ist links von positiv, und rechts von negativ.
- Hat die Funktion
an der Stelle einen Tiefpunkt, dann ist . Die Ableitungsfunktion ist links von negativ, und rechts von positiv.
- Hat die Funktion
an der Stelle einen Sattelpunkt/Terassenpunkt, dann ist . Die Ableitungsfunktion wechselt das Vorzeichen aber nicht und berührt an der Stelle die -Achse.
- Steigt der der Gaph von
, dann ist dort die Ableitung positiv (also ). Fällt der der Gaph von , dann ist dort die Ableitung negativ (also ).
Weitere Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen zum graphischen Ableiten findest du hier: Graphisches Ableiten
Übersicht: Die wichtigsten Ableitungsregeln
Ableitungsregeln elementarer Funktionen
Die Ableitungsfunktionen von Potenzfunktionen, e-Funktion, Logarithmusfunktion, Wurzelfunktion und trigonmetrischen Funktionen (Sinus, Cousins, Tangens) solltest du (je nach Bundesland) im Abi auswendig parat haben:
Die erste Regel ist besonders wichtig, denn jetzt kannst du alle ganzrationalen Funktionen (d.h. Polynome) ableiten. Die Funktion
Die Schaubilder der Ableitungsfunktion der wichtigsten elementaren Funktionen
Fürs Abi ist es hilfreich, wenn du ungefähr weißt, wie die Schaubilder der wichtigsten Funktionen und deren Ableitungen aussehen.
Eine Gerade hat stets eine konstante Steigung. So hat die Gerade
Kettenregel
Der passende Merkspruch zu dieser Regel lautet: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"
Eine ausführliche Erklärung zur Kettenregel mit vielen Beispielen und Übungsaufgaben findest du hier: Kettenregel
Produktregel
Eine ausführliche Erklärung zur Produktregel mit detailierten Beispielen und Übungsaufgaben findest du hier: Produktregel