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Ableitung

Graphisches Ableiten



Erklärung

Einleitung

Graphisches Ableiten bedeutet, aus dem gegebenen Graphen einer Funktion den Graphen der Ableitungsfunktion herzuleiten. Das umgekehrte Vorgehen wird graphisches Aufleiten genannt. In diesem Abschnitt lernst du, wie du graphisch aufleitest.

Gegeben ist der Graph der Funktion . Beim Skizzieren des Graphen der Ableitung kann wie folgt vorgegangen werden:
  • Stellen, an denen Extrempunkte hat, werden zu Schnittpunkten mit VZW des Graphen von mit der -Achse.
  • Stellen, an denen Sattelpunkte / Terrassenpunkte hat, werden zu Berührpunkten von mit der -Achse.
  • Stellen, an denen Wendepunkte hat, werden zu Extrempunkten des Graphen von .
  • In allen Abschnitten, in denen der Graph von steigt, verläuft der Graph von oberhalb der -Achse.
  • In allen Abschnitten, in denen der Graph von fällt, verläuft der Graph von unterhalb der -Achse.

Der Graph der Funktion ist im folgenden Schaubild dargestellt. Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion .
Es gelten:
  • Der Graph von hat etwas links von und etwas rechts von Extrempunkte. Also hat der Graph von dort die Nullstellen und .
  • Der Graph hat zwischen den beiden Extrema eine Wendestelle mit maximaler Steigung. Also hat dort einen Hochpunkt .
Daraus entsteht die untenstehende linke Skizze. In allen Intervallen, in denen der Graph von fällt, liegt der Graph von unterhalb der -Achse. In allen Intervallen, in denen der Graph von steigt, liegt der Graph von oberhalb der -Achse. Damit ergibt sich die Skizze des Ableitungsgraphen rechts:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist eine Funktion mit Ableitung . Im nachfolgenden Schaubild ist der Graph der Funktion dargestellt.

Sind folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar? Begründe deine Antwort.
  1. Der Graph von hat bei einen Tiefpunkt.
  2. Der Graph von hat im dargestellten Bereich genau einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt.
  3. Der Graph der Funktion hat bei eine Tangente mit der Steigung .
  4. Die Funktion hat bei eine Nullstelle.
  5. Der Graph von besitzt im dargestellten Bereich zwei Extremstellen.
  6. Der Graph der Funktion hat im dargestellten Bereich an genau zwei Stellen waagrechte Tangenten.
  7. Es gilt: .

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Falsch: Bei berührt die -Achse, der Graph von hat daher dort einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt.
  2. Wahr: Bei berührt die -Achse. Außer an dieser Stelle wird die -Achse im dargestellten Bereich nirgends von berührt.
  3. Wahr: Aus dem Schaubild kann abgelesen werden: . Dieser Wert entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von an der Stelle .
  4. Unentscheidbar: Der Graph der Ableitung lässt keine Rückschlüsse über die Nullstellen der Funktion zu.
  5. Falsch: Die Extremstellen von sind genau die Wendestellen von . Im Schaubild erkennt man, dass genau eine Wendestelle besitzt.
  6. Wahr: Der Graph besitzt zwei Schnittpunkte mit der -Achse. Die Ableitung nimmt genau zwei mal den Wert an und zwar für und .
  7. Falsch: An der Skizze erkennt man, dass zwischen und oberhalb der -Achse verläuft. Daher ist die Funktion in diesem Bereich monoton steigend. Somit gilt .
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist jeweils der Graph einer Funktion. Skizziere den dazugehörigen Graphen der Ableitungsfunktion rechts daneben.

Lösung zu Aufgabe 2

Der Graph der Ableitung ist jeweils gepunktet eingezeichnet.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist eine Funktion . Der Graph der Ableitungsfunktion ist im folgenden Schaubild dargestellt.

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe deine Antwort:
  1. Der Graph von hat bei eine waagrechte Tangente.
  2. Der Graph von hat bei eine waagrechte Tangente.
  3. Der Graph von hat bei eine waagrechte Tangente.
  4. Der Graph berührt bei die -Achse.
  5. Der Graph von hat bei eine waagrechte Tangente.
  6. Die Funktion hat mehr als eine Nullstelle.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Falsch: Nicht der Graph von , sondern hat an dieser Stelle eine waagrechte Tangente. Da , hat der Graph von an dieser Stelle eine Tangente mit negativer Steigung.
  2. Wahr: Der Wert der ersten Ableitung entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an dieser Stelle. Da ist, stimmt also die Behauptung.
  3. Wahr: Es gilt , also hat der Graph von an der Stelle eine waagrechte Tangente.
  4. Wahr: Dies kann am Schaubild direkt abgelesen werden.
  5. Falsch: Hätte der Graph von bei eine waagrechte Tangente, so hätte der Graph an der Stelle einen Wendepunkt. Man erkennt in der Skizze, dass dies nicht der Fall ist, denn ist in einer Umgebung von linksgekrümmt.
  6. Unentscheidbar: Der Verlauf des Graphen lässt keine Rückschlüsse auf die Anzahl der Nullstellen von zu.
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Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist der Graph einer Funktion :

Entscheide, ob folgende Aussagen für eine Stammfunktion und die Ableitungsfunktion wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe deine Antwort.
  1. Die Funktion ist für monoton wachsend.
  2. Die Funktion hat mindestens eine Nullstelle.
  3. Es gilt
  4. Der Graph von kann im dargestellten Bereich keinen Terrassenpunkt / Sattelpunkt haben.
  5. Es gilt .

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Wahr: Denn die dargestellte Funktion ist der Graph der Ableitung von . Man sieht deutlich, dass sie in diesem Intervall oberhalb der -Achse verläuft.
  2. Unentscheidbar: Die Anzahl der Nullstellen einer Funktion sind am Graphen der Ableitung nicht ablesbar.
  3. Wahr: Denn es gilt:
  4. Falsch: Der Graph der Funktion berührt die -Achse bei . Also hat der Graph von einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt an der Stelle .
  5. Falsch: Es gilt für . Daher ist die Funktion zwischen und monoton steigend und es folgt .

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Ordne die Graphen der Funktion und der zugehörigen Ableitungsfunktionen jeweils passend zu. Begründe dabei Deine Zuordnung.

  1. Gegeben sind die Graphen der Funktionen und ihrer Ableitung .
  2. Gegeben sind der Graph der Funktion und die Graphen der ersten beiden Ableitungen und .
  3. Gegeben sind die Graphen der Funktionen und und die Graphen der Ableitungen und .

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Der durchgezogene Graph hat bei eine doppelte Nullstelle, während der gestrichelte Graph dort einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt besitzt. Der Graph von ist also gestrichelt und der Graph von ist durchgezogen.
  2. An der Maximumstelle des gestrichelten Graphen hat der durchgezogene Graph eine Nullstelle. Der durchgezogene Graph hat im negativen Bereich einen Tiefpunkt und bei einen Hochpunkt. Exakt an diesen Stellen hat der gestrichelte Graph jeweils eine Nullstelle. Der Graph von ist gepunktet, der Graph von ist durchgezogen und der Graph von ist gestrichelt.
  3. Der gepunktete Graph gehört zu einer Ableitungsfunktion, weil es keinen Funktionsgraphen gibt, der bei dessen Tiefpunkt bei eine Nullstelle hat. Dann muss die Funktion im dargestellten Bereich fallend sein bis . Dies trifft genau auf den gestrichelt-gepunkteten Graphen zu. Der Graph der Funktion ist gestrichelt-gepunktet und der Graph der Funktion ist gepunktet. Weiter sieht man, dass der gestrichelte Graph zur Funktion gehört und der durchgezogene Graph zur Funktion gehört. Der gestrichelte Graph hat einen Terrassenpunkt / Sattelpunkt bei und der gestrichelte Graph berührt bei die -Achse. Also gehört der gestrichelte Graph zur Funktion und der durchgezogene Graph zur Funktion .

Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist jeweils der Graph einer Funktion. Skizziere den dazugehörigen Graphen der Ableitungsfunktion rechts daneben.

Lösung zu Aufgabe 6

Der Graph der Ableitung ist jeweils gepunktet eingezeichnet.

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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 15:02:44 Uhr