Kettenregel

Hilfreiche Umformungen beim Ableiten

Viele Aufgabenstellungen zu Ableitungen oder Integrationen (und Kettenregel) sind mit diesen Umformungen deutlich einfacher zu lösen:

Ableitungen elementarer Funktionen

Wann musst du die Kettenregel nutzen?

Falls die Funktion

als Hintereinanderausführung oder Verkettung der beiden Funktionen

und

geschrieben werden kann, also

, dann gilt für die Ableitung

folgende Beziehung:

In diesem Zusammenhang heißt

die innere und

die äußere Funktion von

. Statt

schreibt man auch manchmal

.

Gegeben ist die Funktion

mit

. Dann gilt mit obigen Bezeichnungen:

Die Ableitung der Funktion

kann dann mit Hilfe der Kettenregel bestimmt werden:

Gegeben ist die Funktion

mit

. Dann gilt mit obigen Bezeichnungen:

Die Ableitung der Funktion

kann dann mit Hilfe der Kettenregel bestimmt werden:

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bilde jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Leite folgende Funktionen ab:

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Leite folgende Funktionen ab:

Lösung zu Aufgabe 3

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Leite folgende Funktionen ab:

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist für die Schar der Funktionen durch

Für welchen Wert von

gilt

?

Lösung zu Aufgabe 5

Es gilt:

Setzt man nun

, so erhält man die Gleichung

Dies führt zur Lösung

.

Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktion durch

An der Stelle

hat der Graph der Funktion

den Anstieg

Lösung zu Aufgabe 6

Mit Hilfe der Kettenregel erhält man:

Somit folgt

.

Aufgabe 7

- Schwierigkeitsgrad:

Bilde jeweils die erste Ableitung der Funktionenscharen:

Kettenregel

Grundlagen

Hilfreiche Umformungen beim Ableiten

Ableitungen elementarer Funktionen

Ableiten mithilfe der Kettenregel

Wann musst du die Kettenregel nutzen?

Aufgaben

Aufgabe 1

Lösung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

Lösung zu Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe 5

Lösung zu Aufgabe 5

Aufgabe 6

Lösung zu Aufgabe 6

Aufgabe 7

Lösung zu Aufgabe 7