Erklärung
Einleitung
In der Raumgeometrie können zwei geometrische Objekte gemeinsame Schnittpunkte haben. Dabei sind die folgenden Betrachtungen von Bedeutung:
In diesem Artikel lernst du, die Schnittmenge von zwei Geraden zu berechnen.
Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden
Schritte
- Setze Geradengleichungen gleich und löse das LGS:
- Setze einen gewonnenen Parameter in die Geradengleichung ein und lies den Schnittpunkt
ab: Damit ist der Schnittpunktgefunden.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Unter einem Haus sollen neue Leitungen verlegt werden. Eine Wasserleitung gibt es bereits und ihr Verlauf wird beschrieben durch die Geradengleichung
- Es soll neben der Wasserleitung eine Stromleitung verlegt werden.
Diese soll parallel zu der vorhandenen Wasserleitung liegen und durch den Punkt
verlaufen. Bestimme eine Geradengleichung der Stromleitung. - Zudem wird ein Blitzableiter in das Haus eingebaut.
Der Verlauf des Blitzableiters wird beschrieben durch die Gerade
Bestimme, ob der Blitzableiter eine der beiden Leitungen schneidet.
Lösung zu Aufgabe 1
- Die Stromleitung
verläuft parallel zur Wasserleitung , somit sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander. Der Aufpunkt von ist der vorgegebene Punkt . Also ergibt sich: - Gleichsetzen der Geradengleichungen des Blitzableiters und der Stromleitung ergibt:
Es gibt keine Lösung, also schneiden sich der Blitzableiter und die Stromleitung nicht. Gleichsetzen der Geradengleichungen des Blitzableiters und der Wasserleitung führt ohne Widerspruch zu
und . Einsetzen der Parameter in die Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt von Blitzableiter und Wasserleitung.
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Untersuche die Lagebeziehung der folgenden Geraden zueinander und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
Lösung zu Aufgabe 2
- Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert:
Es ergibt sich keine Lösung, damit sind die Geraden windschief.
- Die Richtungsvektoren von
und sind parallel, denn es gilt: Punktprobe mit(Aufpunkt von ) und der Geraden ergibt: Damit fällt die Punktprobe positiv aus. Die Geradenund sind also identisch. - Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Das Gleichsetzen der Geradengleichungen führt ohne Widerspruch zu
und . Einsetzen des Wertes in die Geradengleichung von ergibt: Damit ist der Schnittpunktgefunden.
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Für die Zeit
- Bestimme die Geschwindigkeit von Flugzeug
sowohl in als auch in . Kläre, welches der Flugzeuge ab an Flughöhe gewinnt. - Zeige, dass die beiden Flugbahnen nicht rechtwinklig zueinander stehen.
- Kläre, ob sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge kreuzen. Wenn ja, berechne den Schnittpunkt der Flugbahnen.
- Besteht die Gefahr, dass die beiden Flugzeuge miteinander kollidieren?
- Flugzeug
befindet sich an dem Koordinatenpunkt . An welchem Punkt befindet sich Flugzeug zum gleichen Zeitpunkt? Berechne den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt. - Stelle in Abhängigkeit der Zeit
einen Ausdruck auf, der den Abstand der beiden Flugzeuge beschreibt. Zu welchem Zeitpunkt ist der Abstand der beiden Flugzeuge am geringsten? Wie groß ist der geringste Abstand? Interpretiere dieses Ergebnis im Sachkontext.
Tipp: Die Wurzel eines Ausdrucks wird genau dann minimal, wenn der Term unter der Wurzel minimal wird.
Lösung zu Aufgabe 3
- In einer Minute bewegt sich das Flugzeug
genau um die Länge des Richtungsvektors fort. In einer Minute legtalso etwa zurück. Die Geschwindigkeit von beträgt folglich Die-Koordinate des Richtungsvektors von ist positiv, das Flugzeug steigt also. Die -Koordinate des Richtungsvektors von ist , das Flugzeug fliegt demnach auf gleichbleibender Höhe. - Die Richtungsvektoren von
und sind nicht senkrecht, da Damit sind die Flugbahnen nicht rechtwinklig zueinander. - Gesucht ist die Lagebeziehung der Flugbahnen.
Es sollen also die gesamten Geraden und nicht nur der Ort der beiden Flugzeuge zu gleichen Zeitpunkten untersucht werden.
Daher dürfen die Parameter in den Geradengleichung nicht gleich heißen.
Gleichsetzen ergibt:
Einsetzen der Parameter in die Geradengleichungen ergibt den Schnittpunkt
der beiden Flugbahnen. - Aus dem vorherigen Aufgabenteil ist bekannt, dass die Flugbahnen sich bei
und schneiden. Da und am Schnittpunkt nicht gleich sind, befinden sich die Flugzeuge nie zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort. Die Flugzeuge kollidieren also nie. - Zunächst wird der Zeitpunkt berechnet, zu welchem sich Flugzeug
im Punkt befindet. Einsetzen vonin die Geradengleichung von ergibt: Flugzeugbefindet sich zum Zeitpunkt min folglich im Punkt . Der Abstand zwischen und ist - Die Geradengleichungen können umgeschrieben werden:
Zum Zeitpunkt
befindet sich das Flugzeug im Punkt und im Punkt . Der Abstand der beiden Punkte lässt sich wie folgt ausdrücken: Gesucht ist das Minimum der Funktion. Diese wird minimal, wenn der Ausdruck unter der Wurzel minimal wird. Es soll also das Minimum von: berechnet werden. Hierfür wird unter Berücksichtigung der Kettenregel die erste Ableitung berechnet und dann gleich Null gesetzt:Einsetzen liefert. Die Flugzeuge haben also nach = den geringsten Abstand von .
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Untersuche jeweils die Lagebeziehung der folgenden Geraden zueinander und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
Lösung zu Aufgabe 4
- Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Setze die Geradengleichungen gleich:
Es ergibt sich keine Lösung, damit sind die Geraden windschief.
- Die Richtungsvektoren von
und sind parallel, denn es gilt: Punktprobe mit(Aufpunkt von ) und der Geraden ergibt: Damit fällt die Punktprobe positiv aus. Die Geradenund sind also identisch. - Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig, also nicht parallel.
Das Gleichsetzen der Geradengleichungen führt ohne Widerspruch zu
und . Einsetzen des Wertes in die Geradengleichung von ergibt: Damit ist der Schnittpunktgefunden.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 13:46:59 Uhr