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Lagebeziehungen und Schnitt

Schnitt Ebene-Ebene



Erklärung

Einleitung

Für die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten:

  • die Ebenen sind zueinander parallel und identisch,
  • die Ebenen sind zueinander parallel und nicht identisch,
  • die Ebenen besitzen eine gemeinsame Schnittgerade.
Die Abschnitt Lagebeziehung Ebene-Ebene lernst du, wie du die Lagebeziehung zwischen zwei gegebenen Ebenen bestimmen kannst. In diesem Abschnitt geht es für dich zusätzlich darum zu lernen, wie du die gemeinsame Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln kannst.

Gegeben sind zwei sich schneidende Ebenen und durch
Gesucht ist eine Gleichung der Schnittgeraden von und .
Schritte
  • Stelle ein LGS auf und bringe es auf Stufenform.
  • Setze und bestimme und in Abhängigkeit von .
  • Stelle eine Geradengleichung für auf:
    Hinweis: Für diese Methode müssen Ebenen zunächst in Koordinatenform umgerechnet werden. Wenn eine Ebene in Parameter- und eine in Koordinatenform gegeben ist, kann man auch analog zum Verfahren zur Bestimmung der Schnittmenge von Gerade und Ebene vorgehen.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Kunstwerk aus massivem Fichtenholz hat die Form einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Die Ecken des Kunstwerkes sind und .

  1. Bestimme, welche der Kanten des Objekts in der Ebene liegen:
  2. Im Rahmen einer Kunstperformance soll das Objekt mit einer Holzsäge in zwei Teile geteilt werden. Geschnitten wird entlang der Ebene mit
    Die Säge soll auf der Seitenfläche angesetzt werden. Damit der Schnitt korrekt erfolgen kann, soll eine Linie auf der Seitenfläche eingezeichnet werden, entlang welcher der Schnitt erfolgen soll. Bestimme eine Gleichung der Geraden, in der diese Linie liegt.
  3. Die Zuschauer sind vor Aufregung außer sich. Ein Zuschauer mutmaßt, dass durch den Schnitt zwei Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche entstehen werden. Nimm Stellung zu dieser Aussage.

Tipp: Wandle in Koordinatenform um.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Wandle die Gleichung der Ebene in Koordinatenform um:
    Überprüfe, welche der Punkte in der Ebene liegen. Durch Punktprobe erhält man:
    Somit liegt die gesamte Seitenfläche in der Ebene und damit natürlich auch alle Kanten, die zwei der drei Punkte enthalten.
  2. Aus vorherigem Aufgabenteil ist bekannt, dass das Dreieck in der Ebene liegt. Die gesuchte Gerade ist also die Schnittgerade der Ebenen und .
    Das LGS aus den Koordinatengleichungen von und ergibt mit die Schnittgerade mit
  3. Beim Zerschneiden der Pyramide entstehen nur dann zwei Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche, wenn der Schnitt durch genau zwei Eckpunkte geht. Das heißt, die Aussage des Mannes würde stimmen, wenn genau zwei der Eckpunkte ( oder ) in der Schnittebene liegen. Durch Einsetzen der Punkte in die Koordinatengleichung von ergibt sich
    Nur liegt in der Schnittebene, das heißt, der Mann hatte unrecht und durch den Schnitt entstehen keine zwei Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind:

  1. Bestimme für alle Paare jeweils ihre Lagebeziehung.
  2. Bestimme die Schnittmenge von und .
  3. Ermittle .

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Die Normalenvektoren der Ebenen lauten:
    Es gilt:
    Die Ebene schneidet die anderen drei Ebenen in einer Schnittgeraden. Die Koordinatengleichungen von und sind Vielfache voneinander, das heißt und sind identisch. Die Koordinatengleichungen von und (bzw. ) sind keine Vielfache voneinander, also ist echt parallel zu und zu .
  2. Die Schnittmenge von und ist eine Schnittgerade, welche man durch Lösen folgendes Gleichungssystems erhält:
    Setzt man nun und in die erste Zeile ein, ergibt sich und damit die Schnittgerade
  3. Da und identisch sind, ergibt sich aus dieselbe Schnittgerade wie für im vorherigem Aufgabenteil.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen zueinander und ermittle die Schnittmenge.

Tipp: Wandle die Ebenen in Koordinatenform um.

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von lautet
    Die Koordinatengleichungen von und sind keine Vielfachen voneinander, das heißt die Ebenen sind echt parallel.
  2. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear unabhängig, d.h. die Ebenen schneiden sich. Die Koordinatengleichungen der Ebenen lauten
    Aus dem LGS der beiden Koordinatengleichungen folgt mit die Schnittgerade
  3. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von lautet
    Die Koordinatengleichungen von und sind Vielfache voneinander, d.h. die Ebenen sind identisch.

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Gebäude hat die Form einer Pyramide. Die Ecken der dreieckigen Grundfläche werden durch die Punkte und beschrieben. Die Spitze der Pyramide ist im Punkt .

  1. Die Seitenwand liegt in der Ebene . Bestimme eine Gleichung der Ebene .
  2. Bestimme die Schnittgerade von und der Grundfläche der Pyramide.
  3. Ein Holzträger soll in die Pyramide eingebaut werden. Der Träger startet in der Ecke und trifft senkrecht auf die Seitenwand . Bestimme die Länge des Holzträgers.

Lösung zu Aufgabe 4

  2. Die Schnittgerade der Seitenwand und der Grundfläche ist die Gerade durch und :
  3. Der Normalenvektor der Ebene , die enthält, lautet
    Die Gerade verläuft durch den Punkt und besitzt als Richtungsvektor:
    Um den Schnittpunkt von und zu erhalten, wird in Koordinatenform umgeschrieben () und anschließend die Geradengleichung von in die Koordinatengleichung von eingesetzt. Daraus folgt und damit schließlich der Schnittpunkt
    Der Abstand zwischen und beträgt
    Die Länge des Holzträgers beträgt also circa 4,6 Längeneinheiten.
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Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Lagebeziehung der Ebenen zueinander und ermittle die Schnittmenge.

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear abhängig. Die Koordinatengleichung von lautet
    Die Koordinatengleichungen von und sind keine Vielfachen voneinander, damit sind die Ebenen echt parallel.
  2. Die Normalenvektoren der Ebenen
    sind linear unabhängig, d.h. die Ebenen schneiden sich. Aus dem LGS der beiden Koordinatengleichungen folgt mit die Schnittgerade

Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Gebäude hat die Form einer Pyramide. Die Ecken der dreieckigen Grundfläche werden durch die Punkte und beschrieben. Die Spitze der Pyramide ist im Punkt .

  1. Die Seitenwand liegt in der Ebene . Bestimme eine Gleichung der Ebene .
  2. Bestimme die Schnittgerade von und der Grundfläche der Pyramide.
  3. Ein Holzträger soll in die Pyramide eingebaut werden. Der Träger startet in der Ecke und trifft senkrecht auf die Seitenwand . Bestimme die Länge des Holzträgers.

Lösung zu Aufgabe 6

  2. Die Schnittgerade der Seitenwand und der Grundfläche ist die Gerade durch und :
  3. Der Normalenvektor der Ebene , die enthält, lautet
    Die Gerade verläuft durch den Punkt und besitzt als Richtungsvektor:
    Um den Schnittpunkt von und zu erhalten, wird in Koordinatenform umgeschrieben () und anschließend die Geradengleichung von in die Koordinatengleichung von eingesetzt. Daraus folgt und damit schließlich der Schnittpunkt . Der Abstand zwischen und beträgt
    Die Länge des Holzträgers beträgt also eine Längeneinheit.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 13:49:45 Uhr