Erklärung
Einleitung
In der Raumgeometrie können zwei geometrische Objekte gemeinsame Schnittpunkte haben. Dabei sind die folgenden Betrachtungen von Bedeutung:
In diesem Artikel lernst du, die Schnittmenge von einer Geraden mit einer Ebene zu berechnen.
Schritte
- Setze die Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und bestimme den Parameter
: - Setze den berechneten Parameter
in die Geradengleichung ein und lies den Schnittpunkt ab: Der Schnittpunkt vonund ist also .
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben sind eine Ebene
Lösung zu Aufgabe 1
Damit die Gerade senkrecht auf der Ebene steht, muss sie senkrecht zu beiden Spannvektoren stehen. Daher berechnet man jeweils das Skalarprodukt des Richtungsvektors mit einem Spannvektor. Man erhält:
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Untersuche die Lagebeziehung der Geraden
Tipp: Wandle die Ebenengleichungen immer zunächst in Koordinatenform um.
Lösung zu Aufgabe 2
- Das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor ist
Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung ergibt:Einsetzen von
in die Geradengleichung ergibt den Schnittpunkt . - Zunächst wird die Ebene in Koordinatenform umgeschrieben.
Hierfür wird der Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren berechnet:
Das Einsetzen des Stützpunktes der Ebene
in den Ansatz der Ebenengleichung ( ) ergibt Das Skalarprodukt aus Normalenvektor vonund Richtungsvektor von ist Wird der Aufpunktvon in die Koordinatengleichung von eingesetzt, ergibt sich ein Widerspruch. Damit sind und echt parallel. - Das Skalarprodukt aus Normalen- und Richtungsvektor ist
. Das Einsetzen des Aufpunkts von in ergibt keinen Widerspruch. Damit liegt in .
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben sind die Gerade
- Bestimme den Parameter
so, dass sich die Geraden und senkrecht schneiden. - Gib eine Gleichung einer Ebene
an, die von der Geraden im Punkt senkrecht geschnitten wird. - Überprüfe, ob die Gerade
vollständig in der Ebene verläuft mit: Wenn nein, bestimme die Lagebeziehung der Ebeneund der Geraden .
Lösung zu Aufgabe 3
- Die Geraden schneiden sich in ihrem gemeinsamen Aufpunkt
. Sie schneiden sich senkrecht, wenn ihre Richtungsvektoren senkrecht zueinander sind. Dies ist der Fall, wenn gilt Diese Gleichung ist fürerfüllt. - Die gesuchte Ebene
enthält den Aufpunkt von als Stützvektor und den Richtungsvektor von als Normalenvektor. Einsetzen des Normalenvektors und anschließende Punktprobe mit liefert die Ebenengleichung - Die Geradengleichung von
in eingesetzt führt zu einem Widerspruch: Damit habenund keine gemeinsamen Punkte, das heißt muss echt parallel zu sein.
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist eine Ebene
Lösung zu Aufgabe 4
Damit die Gerade senkrecht auf der Ebene steht, muss sie senkrecht zu beiden Spannvektoren stehen. Daher berechnet man jeweils das Skalarprodukt des Richtungsvektors mit einem Spannvektor. Man erhält: