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Konstruktionsprobleme

Spiegelung Punkt an Ebene

Erklärung

Einleitung

Das Spiegeln eines geometrischen Objekts an einem anderen geometrischen Objekt im dreidimensionalen Raum umfasst folgende Teilaspekte:

Alle weiteren Spiegelungen werden auf die drei zuerst genannten grundlegenden Spiegelungen zurückgeführt. In diesem Abschnitt lernst du, wie du einen gegebenen Punkt an einer gegebenen Ebene spiegelst.

Gegeben sind der Punkt und die Ebene . Gesucht ist der Spiegelpunkt des Punktes an der Ebene .
Schritte
  • Schritt 1: Stelle eine Hilfsgerade auf, welche durch verläuft und deren Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene entspricht:
  • Schritt 2: Schneide mit und erhalte den Lotfußpunkt :
  • Schritt 3: Zur Bestimmung von , spiegle an :
    Damit ist der Bildpunkt gefunden.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

In einem Labor wird die Wirkung von Laserstrahlen auf eine schleimige Substanz untersucht. Im Punkt befindet sich ein Laserstrahler, der in Richtung

strahlt und auf einen Spiegel trifft, der in der Ebene liegt mit:
Ein mit der schleimigen Substanz gefülltes Reagenzglas befindet sich im Punkt .
  1. Stelle eine Gleichung der Gerade auf, in welcher der Laserstrahl verläuft, bevor er auf den Spiegel trifft. Bestimme zudem den Winkel, in welchem der Laserstrahl auf den Spiegel trifft.
  2. Bestimme die Gerade , in welcher der reflektierte Lichtstrahl liegt und prüfe, ob der reflektierte Laserstrahl das Reagenzglas trifft.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Eine mögliche Gleichung der Geraden, in welcher der Laserstrahl verläuft, lautet:
    Der gesuchte Winkel ist der spitze Winkel zwischen der Geraden und der Ebene . Es gilt:
    und somit .
  2. Um die Geradengleichung des reflektierten Strahls zu erhalten, werden zwei beliebige Punkte von an gespiegelt und die Gerade durch die beiden Bildpunkte gebildet. Der Punkt wird an der Ebene gespiegelt.

Aufstellen der Hilfsgerade

Es gilt:

Bestimmung des Lotfußpunktes

Schneide mit und erhalte den Lotfußpunkt :

Spiegelung des Punktes

Spiegle an .

Ein weiterer Punkt auf der Gerade ist zum Beispiel , man erhält ihn für . Spiegelt man an der Ebene so erhält man genauso wie eben den Spiegelpunkt von als
Nachdem man den Richtungsvektor "gekürzt"hat, lautet die Geradengleichung durch die Punkte und wie folgt :
Um zu prüfen, ob der Laserstrahl auf das Reagenzglas trifft, wird eine Punktprobe mit dem Punkt und der Geraden durchgeführt:
Kein erfüllt diese Gleichung, also liegt das Reagenzglas nicht in dem Laserstrahl.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 07. 01. 2019
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