Erklärung
Einleitung
Das Spiegeln eines geometrischen Objekts an einem anderen geometrischen Objekt im dreidimensionalen Raum umfasst folgende Teilaspekte:
Alle weiteren Spiegelungen werden auf die drei zuerst genannten grundlegenden Spiegelungen zurückgeführt. In diesem Abschnitt lernst du, wie du einen gegebenen Punkt an einer gegebenen Ebene spiegelst.
Schritte
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Schritt 1: Stelle eine Hilfsgerade
auf, welche durch verläuft und deren Richtungsvektor dem Normalenvektor der Ebene entspricht: -
Schritt 2: Schneide
mit und erhalte den Lotfußpunkt : -
Schritt 3: Zur Bestimmung von
, spiegle an : Damit ist der Bildpunktgefunden.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:In einem Labor wird die Wirkung von Laserstrahlen auf eine schleimige Substanz untersucht.
Im Punkt
- Stelle eine Gleichung der Gerade auf, in welcher der Laserstrahl verläuft, bevor er auf den Spiegel trifft. Bestimme zudem den Winkel, in welchem der Laserstrahl auf den Spiegel trifft.
- Bestimme die Gerade
, in welcher der reflektierte Lichtstrahl liegt und prüfe, ob der reflektierte Laserstrahl das Reagenzglas trifft.
Lösung zu Aufgabe 1
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Eine mögliche Gleichung der Geraden, in welcher der Laserstrahl verläuft, lautet:
Der gesuchte Winkel ist der spitze Winkelzwischen der Geraden und der Ebene . Es gilt: und somit. -
Um die Geradengleichung des reflektierten Strahls
zu erhalten, werden zwei beliebige Punkte von an gespiegelt und die Gerade durch die beiden Bildpunkte gebildet. Der Punkt wird an der Ebene gespiegelt. Aufstellen der Hilfsgerade
Es gilt:
Bestimmung des Lotfußpunktes
Schneide
mit und erhalte den Lotfußpunkt : Spiegelung des Punktes
Spiegle
an . Ein weiterer Punkt auf der Gerade ist zum Beispiel, man erhält ihn für . Spiegelt man an der Ebene so erhält man genauso wie eben den Spiegelpunkt von als Nachdem man den Richtungsvektor "gekürzt"hat, lautet die Geradengleichung durch die Punkteund wie folgt : Um zu prüfen, ob der Laserstrahl auf das Reagenzglas trifft, wird eine Punktprobe mit dem Punktund der Geraden durchgeführt: Keinerfüllt diese Gleichung, also liegt das Reagenzglas nicht in dem Laserstrahl.