Koordinatenform einer Ebene

Erklärung

Einleitung

Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann beschrieben werden durch die

In diesem Artikel lernst du, wie du die Koordinatenform einer Ebene erstellst und sie anwendest.

Die Koordinatenform einer Ebene

lautet:

Der Normalenvektor von

ist

Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Durch Berechnung der Spurpunkte lässt sich die Ebene in einem Koordinatensystem darstellen. {{/latex:div}} {{/latex:div}}

Koordinatengleichungen, welche dieselbe Ebene beschreiben, sind Vielfache voneinander. Zum Beispiel:

Anhand der Koordinatenform einer Ebene kann man leicht feststellen, ob ein beliebiger Punkt in der gegebenen Ebene liegt oder nicht. Gegeben sind die Ebene

und die Punkte

und

durch:

Nun setzt man die Punkte in die Ebenengleichung ein. Für

gilt:

Für

gilt:

Also liegt

in der Ebene,

aber nicht.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Kläre, ob der Punkt auf der Ebene liegt. Bestimme zudem einen Punkt mit ausschließlich positiven Koordinaten, der in der Ebene liegt.

Lösung zu Aufgabe 1

Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein:

Also liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

Der Punkt ist einer der vielen Punkte mit positiven Koordinaten in der Ebene .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Blatt Papier wird frontal auf einen spitzen Bleistift gesteckt. Der Bleistift liegt auf der Geraden mit:

Das Papier wird so weit auf den Bleistift geschoben, bis es den Punkt

beinhaltet. Bestimme eine Gleichung der Ebene

, in welcher das Papier liegt.

Lösung zu Aufgabe 2

Der Richtungsvektor der Geraden wird zum Normalenvektor der Ebene . Der erste Ansatz für die Ebenengleichung von lautet:

Zudem ist der Punkt

in der Ebene gegeben. Punkt in die Ebene einsetzen:

Die Ebenengleichung von

lautet somit:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Der Hang eines Weinberges wird durch die Ebene

beschrieben. Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter.

Um die Trauben vor Vögeln zu schützen, soll ein parallel zum Hang verlaufendes Netz gespannt werden. Hierzu werden zahlreiche lange Pfosten senkrecht zum Hang befestigt. Das Netz wird zwischen den Enden der Pfosten befestigt. Der Fußpunkt des ersten Pfostens befindet sich im Punkt .

Bestimme die Koordinaten des oberen Endes des ersten Pfostens.
Ermittle eine Koordinatendarstellung der Ebene , in der das Netz liegt.

Lösung zu Aufgabe 3

Der Normalenvektor der Ebene wird zum Richtungsvektor der Geraden, in welcher der Pfosten liegt. Die Geradengleichung, in der der Pfosten liegt, wird somit beschrieben durch:
Die Länge des Richtungsvektors beträgt:
Also wird in die Geradengleichung eingesetzt, denn . Somit hat der Pfosten die gewünschte Länge.
Also liegt das obere Ende des Pfosten bei .
Da die Ebene parallel zur Ebene liegt, verlaufen die Normalenvektoren parallel, das heißt sie sind Vielfache voneinander. Zudem ist der Punkt in gegeben. Der erste Ansatz für die Koordinatenform ist:
Der Punkt Punkt wird eingesetzt, um zu berechnen:
Die Ebenengleichung lautet:

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Ebene

Genau eine der folgenden Aussagen ist wahr. Welche?

[] Der Koordinatenursprung liegt auf .
[] Die Ebene ist parallel zur ---Ebene.
[] Die Ebene ist parallel zur ---Ebene.
[] Die Ebene ist parallel zur -Achse.
[] Die Ebene hat nur einen Spurpunkt.

Lösung zu Aufgabe 4

Berechnet man die Spurpunkte, so stellt man fest, dass es keinen Spurpunkt auf der -Achse gibt. Daher schneidet die -Achse nicht. Folglich ist parallel zur -Achse. Die vorletzte Antwortmöglichkeit ist also korrekt.

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Stück Pappe wird frontal auf eine spitze Metallstange gesteckt. Die Stange liegt auf der Geraden mit:

Die Pappe wird so weit auf die Metallstange geschoben, bis sie den Punkt

beinhaltet. Bestimme eine Gleichung der Ebene

, in welcher die Pappe liegt.

Lösung zu Aufgabe 5

Der Richtungsvektor der Geraden wird zum Normalenvektor der Ebene . Ein erster Ansatz für die Ebenengleichung von lautet:

Zudem ist der Punkt

in der Ebene

enthalten. Eine Punktprobe liefert:

Die Ebenengleichung von

lautet somit:

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Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Ebene mit der Koordinatenform und die Punkte und .

Entscheide ob und in der Ebene liegen.
Gib drei weitere Punkte an, die in der Ebene liegen.

Lösung zu Aufgabe 6

liegt in . liegt nicht in .
Zum Beispiel , und .