Erklärung
Einleitung
Eine Ebene ist ein geometrisches Objekt im dreidimensionalen Raum und kann unterschiedlich beschrieben werden, und zwar als
In diesem Abschnitt lernst du, wie du eine Parameterdarstellung (Parameterform) einer Ebene aufstellst.
Eine Umwandlung Parameterform zu Koordinatenform lernst du in einem anderen Abschnitt.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist die Ebene
Lösung zu Aufgabe 1
- Um zu bestimmen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, wird dieser für
eingesetzt. Dabei entsteht ein LGS: Das LGS lösen:Einsetzen in: Probe mitFolglich liegtin der Ebene. Ein Probe kann gemacht werden, indem man und in die Ebenengleichung einsetzt und dann erhält. - Der Punkt
liegt nicht auf der Ebene. - Der Punkt
liegt in der Ebene ( , ).
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme jeweils eine Parameterform der Ebene, in der die entsprechenden drei Punkte liegen:
, , , , .
Lösung zu Aufgabe 2
Es wird einer der drei Punkte als Stützvektor verwendet und jeweils der Verbindungsvektor zu den beiden anderen Punkten berechnet.
- Berechnung der beiden Spannvektoren:
Man kann erkennen, dass
und keine Vielfachen voneinander sind und somit eine Ebene aufspannen. Die Ebenengleichung lautet: - Die Ebenengleichung
lautet:
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Die
Lösung zu Aufgabe 3
Zunächst wird die Ebenengleichung aufgestellt.
Um nur die Pferdekoppel zu beschreiben, werden dann die Parameter
Alternativer Weg
Dieselbe Ebene wird auch beschrieben durch die Parametergleichung
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist die Parameterform
Lösung zu Aufgabe 4
Für
Aufgabe 5
- Schwierigkeitsgrad:Ein Hausdach hat die Eckpunkte
- Stelle eine Gleichung der Ebene
auf, in der das Hausdach liegt. - Da das Haus in einer sonnigen Gegend liegt, soll eine Solarzelle montiert werden.
Diese wird parallel zum Hausdach angebracht und verläuft durch den Punkt
. Stelle eine Gleichung der Ebene auf, in der die Solarzelle liegen wird. \\5\\0}. \end{align} {{/latex}}
Lösung zu Aufgabe 5
- Wähle beliebig drei der vier Punkte aus und stelle die Ebenengleichung auf:
- Der Punkt
wird zum Aufpunkt der Ebene. Da die Spannvektoren parallel verlaufen, kann man die Spannvektoren der Ebene verwenden:
Aufgabe 6
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben sind die parallelen und nicht identischen Geraden
Lösung zu Aufgabe 6
Eine Ebenengleichung wird bestimmt durch drei Punkte beziehungsweise eine Gerade und einen Punkt.
Die Ebene