Entscheidungsregel bestimmen (Hypothesentest Aufgabentyp 2)

Einleitung

Der Hypothesentest gehört zur schließenden Statistik. Die Grundlagen des Hypothesentestes sind in dem Abschnitt Grundidee zu Hypothesentests enthalten. Dort ist auch erklärt, was eine Entscheidungsregel ist. Hier wird ein bestimmter Aufgabentyp und seine Lösung vorgestellt.

Gegeben:

$XMathe-Abitur$ (binomialverteilte Zufallsvariable)
$p_0Mathe-Abitur$ (Hypothese $H_0Mathe-Abitur$ )
$nMathe-Abitur$ (Stichprobenlänge)
$\alphaMathe-Abitur$ (Signifikanzniveau) Gesucht:
$kMathe-Abitur$ (Entscheidungsregel)
Fall 1: $H_0:\ p\geq p_0Mathe-Abitur$ (Linksseitiger Hypothesentest). Dann gilt:
$\begin{align}P(X\leq k) \leq \alpha.\end{align}Mathe-Abitur$
Hieraus wird $kMathe-Abitur$ ermittelt. (Größte natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)
Fall 2: $H_0:\ p\leq p_0Mathe-Abitur$ (Rechtsseitiger Hypothesentest). Dann gilt:
$\begin{align}P(X\geq k) \leq \alpha \folgt P(X\leq k-1) \geq 1- \alpha,\end{align}Mathe-Abitur$
Hieraus wird $kMathe-Abitur$ ermittelt. (Kleinste natürliche Zahl, die die Ungleichung erfüllt.)

Zum Bestimmen von

$kMathe-Abitur$

benötigt man oft einen Taschenrechner oder eine statistische Tabelle.

Paulo hört im Radio, dass es im Schnitt in Tuttlingen höchstens an 10 von 100 Tagen regnet. Diese Hypothese möchte er prüfen. Hierfür beobachtet er 20 Tage das Wetter in Tuttlingen. Er möchte zudem sicherstellen, dass er die Hypothese nur zu einer Wahrscheinlichkeit von

$\SI{5}{\percent}Mathe-Abitur$

unberechtigter Weise ablehnt. Wie sollte seine Entscheidungsregel lauten? Gegeben:

$H_0:\ p \leq 0,1Mathe-Abitur$ (also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit $p_0=0,1Mathe-Abitur$ ).
$n=20Mathe-Abitur$ (Stichprobenlänge)
$\alpha=0,05Mathe-Abitur$ (Signifikanzniveau)

Gesucht:

$kMathe-Abitur$ (Entscheidungsregel) Ansatz: Bezeichne $XMathe-Abitur$ die Anzahl der Regentage. Dann gilt:
$\begin{align}P(X\geq k) \leq 0,05 \folgt P(X\leq k-1) \geq 0,95\end{align}Mathe-Abitur$
Hieraus kann mit den Werten $p_0=0,1Mathe-Abitur$ und $n=20Mathe-Abitur$ die unbekannte Größe $kMathe-Abitur$ bestimmt werden. Dem Taschenrechner oder einer Tabelle entnimmt man:
$\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}k-1 0 1 2 3 4 5 \ldots \\ \hlineP(X\leq...Mathe-Abitur$
Der Wert $0,96Mathe-Abitur$ ist der kleinste Wert, der größer oder gleich $0,95Mathe-Abitur$ ist. Daraus folgt:
$\begin{align}k-1=4 \folgt k=5.\end{align}Mathe-Abitur$
Die Entscheidungsregel lautet also:

Beobachtet Paulo 5 oder mehr Regentage, dann wird die Hypothese, dass es im Schnitt in Tuttlingen höchstens an 10 von 100 Tagen regnet, abgelehnt.

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Zu einem gegebenen Signifikanzniveau soll folgende Hypothese getestet werden:

[:] Mindestens aller in Deutschland lebenden Personen ernähren sich vegetarisch.

Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Antwort.

Es handelt sich um einen linksseitigen Hypothesentest mit .
Angenommen, die Hypothese wird mit einer Stichprobe von getestet. Eine Entscheidungsregel könnte dann lauten: "Wenn 9 oder mehr Personen eine vegetarische Ernährung angeben, wird verworfen."
Vergrößert man bei festen den Stichprobenumfang , dann wird das der Entscheidungsregel kleiner.

Lösung zu Aufgabe 1

Richtig, denn es gilt: [:] .
Falsch, denn in der Hypothese heißt es, dass sich mindestens vegetarisch ernähren. Bei der Entscheidungsregel soll die Hypothese verworfen werden, wenn oder mehr Personen eine vegetarische Ernährung angeben. Das macht aber keinen Sinn, da in der Hypothese schließlich auch davon gesprochen wird, dass es ein größerer Anteil sein kann.
Falsch, wenn sich der Stichprobenumfang vergrößert, wird auch das entsprechende größer.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

SexySportSchuh bietet nur Damenschuhe ab Schuhgröße an. Denn vor vielen Jahren ermittelte die interne Statistikabteilung von SexySportSchuh, dass mindestens aller Frauen eine Schuhgröße von mindestens haben. Frau Fuß, eine dynamische Unternehmensberaterin, schlägt vor, diese Hypothese zu überprüfen. Die Hypothese soll durch eine Stichprobe von Frauen zum Signifikanzniveau getestet werden. Bestimme eine Entscheidungsregel.

Lösung zu Aufgabe 2

Gegeben sind:

(Hypothese )
(Stichprobenlänge)
(Signifikanzniveau)

Gesucht ist:

(Entscheidungsregel)

Bezeichne die Anzahl der Frauen, die eine Schuhgröße von mindestens haben. Die Entscheidungsregel kann wie im Fall 1 des Merkkastens zum Bestimmen von Entscheidungsregeln bestimmt werden:

Dann gilt:

Hieraus wird mit

und

die unbekannte Größe

ermittelt:

Die Entscheidungsregel lautet also:

Geben 94 oder weniger Damen eine Schuhgröße von mindestens an, dann wird die Hypothese, dass aller Frauen nur Schuhe ab Größe tragen, abgelehnt.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Charlotte macht ein Praktikum in Felix Chocolaterie und darf Hohlkörper für Pralinen herstellen. An ihrem ersten Arbeitstag stellt sie 800 Hohlkörper her, von denen insgesamt 80 nicht zu gebrauchen sind. Felix hat sehr hohe Ansprüche und akzeptiert einen Ausschuss von höchstens . Nach Charlottes erstem Arbeitstag legt Felix für die Hypothese

folgende Entscheidungsregel fest:

wird abgelehnt, wenn in einer Stichprobe von 200 Pralinen höchstens 8 unbrauchbar sind.

Begründe Felix Wahl im Sachzusammenhang. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art und zeige, dass die Entscheidungsregel optimal zum Signifikanzniveau ist.
Felix hat Charlotte versprochen, dass sie weiterhin Hohlkörper produzieren darf, wenn ihr Ausschuss weniger als beträgt. Angenommen ihr Ausschuss beträgt und die Entscheidungsregel bleibt die gleiche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit darf sie keine Hohlkörper mehr produzieren?
Nun wird eine neue Entscheidungsregel eingeführt: Ist von 200 Hohlkörpern die Anzahl der Unbrauchbaren kleiner als 10, so wird abgelehnt. Ist die Anzahl der unbrauchbaren Hohlkörper größer als 10, so wird angenommen. Ist die Anzahl der unbrauchbaren Hohlkörper genau 10, so wird wie folgt vorgegangen: In einer Urne liegen 6 Kugeln, welche mit "ja"oder "nein"beschriftet sind. Nun zieht man eine Kugel. Ist diese mit "ja"beschriftet, so hält man an der Hypothese fest, falls sie mit "nein"beschriftet ist, so verwirft man die Hypothese . Wie viele Kugeln müssen mit "ja"beschriftet werden, damit das Signifikanzniveau möglichst nahe an herankommt.

Lösung zu Aufgabe 3

Felix entnimmt Pralinen aus Charlottes Produktion, die entweder verwertbar sind oder nicht. Also entspricht dies einer Bernoulli-Kette. Felix möchte ungern viele Hohlkörper wiederverwerten, daher legt er seine Entscheidungsregel so fest, dass er nur mit geringer Wahrscheinlichkeit einen Fehler erster Art macht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art beträgt
Somit beträgt das Signifikanzniveau . Angenommen, die Hypothese würde auch bei 9 unbrauchbaren Hohlkörpern noch abgelehnt werden. Dann gilt für das Signifikanzniveau
Hier läge die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1.Art also bereits bei ca. . Insofern ist die Entscheidungsregel zum Signifikanzniveau , also optimal.
Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art ( wird nicht abgelehnt, obwohl falsch ist).
Mit einer Wahrscheinlichkeit von darf Charlotte also keine Hohlkörper mehr herstellen, obwohl sie unter Felix geforderten geblieben ist.
Angenommen, in der Urne liegen Kugeln, die mit "nein"beschriftet wurden. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art setzt sich nun zusammen aus der Summe der folgenden Wahrscheinlichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art beträgt also
Für diese Wahrscheinlichkeit soll gelten , also:
Also müssen Kugeln mit "nein"beschriftet werden, damit das Signifikanzniveau von optimal getroffen wird.

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Sascha Schlaumeier, Klaus Klug und Mr. Smart sind die Chefredakteure des gedruckten Großen Universallexikons. Um ihre schwächelnden Verkaufszahlen anzukurbeln, wollen sie nachweisen, dass die Online-Konkurrenz der Wissenpedia nicht die gleiche Qualität hat. Aufgrund ihrer bisherigen Lektüre glauben sie, dass jeder achte Artikel der Wissenspedia substantielle Fehler enthält. Die Hypothese

wird abgelehnt, wenn in einer Stichprobe von

Artikeln höchstens

Artikel substantielle Fehler enthalten.

Begründe die Wahl der Chefredakteure im Sachzusammenhang. Ermittle die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art und zeige, dass die Entscheidungsregel optimal zum Signifikanzniveau ist.
Die Redakteure von Wissenpedia hören von der Anschuldigung und halten dagegen. Sie wollen ihre Artikel optimieren und werden in Zukunft dafür sorgen, dass weniger als ihrer Artikel Fehler haben. Angenommen ihre Fehlerquote beträgt und die Chefredakteure des großen Universallexikons prüfen noch einmal mit der gleichen Entscheidungsregel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit würden sich die drei Universallexikon-Redakteure wieder darin bestätigt sehen, dass jeder 8. Artikel in der Wissenpedia substantielle Fehler enthält?
Nun wird eine neue Entscheidungsregel eingeführt: Ist von Artikeln die Anzahl der fehlerhaften kleiner als , so wird abgelehnt. Ist die Anzahl der fehlerhaften Artikel größer als , so wird angenommen. Ist die Anzahl der fehlerhaften Artikel genau , so wird wie folgt vorgegangen: In einer Urne liegen Kugeln, welche mit "ja" oder "nein" beschriftet sind. Nun zieht man eine Kugel. Ist diese mit "ja" beschriftet, so hält man an der Hypothese fest, falls sie mit "nein"beschriftet ist, so verwirft man die Hypothese . Wie viele Kugeln müssen mit "ja"beschriftet werden, damit das Signifikanzniveau möglichst nahe an herankommt.

Lösung zu Aufgabe 4

Die Chefredakteure testen Artikel von Wissenpedia, die entweder fehlerfrei sind oder nicht. Also entspricht dies einer Bernoulli-Kette. Die Chefredakteure wollen ihre These ungern verwerfen, obwohl sie eigentlich Recht hätten. Daher legen sie die Entscheidungsregel so fest, dass sie nur mit geringer Wahrscheinlichkeit einen Fehler erster Art machen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art beträgt:
Somit beträgt das Signifikanzniveau . Angenommen die Hypothese würde auch bei 6 falschen Artikeln noch abgelehnt werden. Dann gilt für das Signifikanzniveau
Hier läge die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1.Art also bereits bei ca. . Insofern ist die Entscheidungsregel zum Signifikanzniveau optimal.
Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art ( wird nicht abgelehnt, obwohl falsch ist).
Mit einer Wahrscheinlichkeit von halten die drei Chefredakteure also weiter an fest, obwohl Wissenpedia das Niveau wirklich angehoben hat.
Angenommen, in der Urne liegen Kugeln, die mit "nein" beschriftet wurden. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art setzt sich nun zusammen aus der Summe der folgenden Wahrscheinlichkeiten:
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art beträgt also
Für diese Wahrscheinlichkeit soll gelten , also:
Also müssen Kugeln mit "nein"beschriftet werden, damit das Signifikanzniveau von optimal getroffen wird.

Entscheidungsregel bestimmen (Hypothesentest Aufgabentyp 2)

Erklärung

Einleitung

Aufgaben

Aufgabe 1

Lösung zu Aufgabe 1

Aufgabe 2

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

Lösung zu Aufgabe 3

Aufgabe 4

Lösung zu Aufgabe 4