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Vektorrechnung

Kreuzprodukt (bzw. Vektorprodukt)



Erklärung

Einleitung

Die Multiplikation in der Vektorrechnung wird in drei Arten unterschieden:

  • Die skalare Mulitplikation wie in den Vektorrechnung (Grundlagen) beschrieben bedeutet die Mulitplikation einer reelle Zahl (Skalar) mit einem Vektor. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
  • Das Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist als Ergebnis der Mulitplikation eine reelle Zahl.
  • Das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt zweier Vektoren ist als Ergebnis der Multiplikation wieder ein Vektor.
In diesem Abschnitt lernst du, wie du das Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren berechnest.

  • Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren ist definiert als:
  • Das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der jeweils senkrecht zu den Vektoren und steht:
  • Ist ein Dreieck, so ist der Betrag des Vektors gerade der doppelte Flächeninhalt des Dreiecks .
  • Spannen die Vektoren , und einen Spat auf, so ist das Volumen des Spats gegeben durch
    Die Formel nennt man auch Spatprodukt.
  • Für das Volumen einer dreiseitigen Pyramide gilt:

  • Schreibe Vektoren zwei mal untereinander.
  • Streiche oberste und unterste Zeile.
  • Rechne kreuzweise.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Vektoren

  1. Berechne .
  2. Bestimme einen Vektor, der orthogonal zu und ist.
  3. Bestimme alle Vektoren, die orthogonal zu und sind.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. .
  2. Für den in (a) errechneten Vektor gilt und .
  3. Alle Vektoren, die gleichzeitig senkrecht auf und stehen, haben die gleiche Richtung. Sie unterscheiden sich nur in der Länge und im Vorzeichen. Aus Teil (b) folgt somit, dass die Menge aller auf und senkrechten Vektoren beschrieben ist durch:
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die folgenden drei Punkte

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks .

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst berechnet man die Vektoren und . Es gelten:

Im nächsten Schritt wird das Kreuzprodukt der beiden errechneten Vektoren gebildet:
Vom Ergebnisvektor wird nun die Länge bestimmt und durch zwei geteilt. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt nun
Das Dreieck hat also einen Flächeninhalt von etwa 13,74 Flächeneinheiten.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Die Punkte

sind Eckpunkte eines Spats. Dabei bildet das Parallelogramm die Grundfläche.

Bestimme die fehlende Ecke und das Volumen des Spats.

Lösung zu Aufgabe 3

Zunächst müssen die Vektoren gefunden werden, die diesen Spat aufspannen. Dazu fixiert man einen beliebigen Eckpunkt zum Beispiel . Als nächstes berechnet man die Differenzvektoren auf der Grundseite:

Wegen
folgt, dass und die zu benachbarten Punkte auf der Grundfläche sind. Der Punkt ist dem Punkt gegenübergelegen.

Als nächstes untersucht man die übrigen Punkte. Man wählt sich einen Punkt, zum Beispiel und berechnet die Differenzvektoren zu den anderen beiden Punkten des Parallelogramms :

Da das Parallelogramm kongruent zum Parallelogramm ist, kann man den Punkt wie folgt berechnen:
Folglich gilt . Da nun die Lage der einzelnen Punkte des Spats bekannt ist, wird ersichtlich, dass der Spat von den Vektoren , und aufgespannt wird. Somit folgt
Das Volumen des Spats beträgt 216 Volumeneinheiten.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 13:30:17 Uhr