Erklärung
Einleitung
Schattenpunkte sind Punkte, die durch
von einem geometrischen Objekt im Raum auf eine Koordinatenebene oder eine beliebige Ebene im Raum erzeugt werden.
In diesem Abschnitt lernst du, wie du die Schattenpunkte mithilfe der Parameterdarstellung einer Gerade ermitteln kannst.
Schritte
- Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, welche die Lichtquelle mit den Eckpunkte der Objekte, die Schatten werfen, verbinden.
- Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen.
Schritte
- Schritt 1: Stelle Hilfsgeraden auf, die durch die Eckpunkte der Objekte, die Schatten werfen, gehen und in Richtung der Sonnenstrahlen verlaufen.
- Schritt 2: Schneide die Hilfsgeraden mit der Ebene, auf die die Schatten fallen.
Hilfsgerade aufstellen
Eine Gleichung der Hilfsgeraden durchBestimmung des Schnittpunktes
Die
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Nils ist bei seinem Onkel Hubert zu einem Dia-Abend eingeladen.
Zum Glück dauert die langweilige Show nicht allzu lange, so dass sich Nils den Projektor genauer anschauen kann.
Er stellt sich vor, dass die Lampe des Projektors im Ursprung liegt.
Die Ecken eines Dias befinden sich dann an den Punkten
Lösung zu Aufgabe 1
Stelle zunächst die Hilfsgeraden auf und schneide diese mit der Ebene
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:In einem Freibad befindet sich eine leicht schiefe Liegewiese.
Diese hat eine viereckige Form und wird durch die Ecken
- Fertige eine Skizze der Liegewiese und des Schwimmbads in einem geeigneten Koordinatensystem an und zeige, dass die Liegewiese eine rechteckige Form hat. Berechne den Flächeninhalt und den Steigungswinkel der Liegewiese.
- Zeige, dass der Schatten des Segeltuchs ein rechtwinkliges Dreieck ist und nicht über die Liegewiese hinausragt. Bestimme zudem den Anteil der sonnengeschützten Fläche der Liegewiese.
Lösung zu Aufgabe 2
- Skizze (inklusive Sonnensegel):
Um zu zeigen, dass die Liegewiese rechteckig ist, genügt es zu zeigen, dass der Winkel an drei Eckpunkten, z.B. an
, an und an jeweils beträgt. Es gilt: Somit beträgt der Innenwinkel an der Eckegenau . Weiter gilt: Somit ist auch der Innenwinkel an der Eckeein rechter Winkel Schließlich gilt: Also ist auch der Innenwinkel an der Eckeein rechter Winkel. Somit muss das Viereck ein Rechteck sein. Der Flächeninhalt wird berechnet, indem die Länge des Vektors mit der Länge des Vektors multipliziert wird: Der Flächeninhalt beträgt also:Als nächstes wird der Steigungswinkel der Liegewiese bestimmt. Eine Parametergleichung der Ebene, in welcher die Liegewiese liegt, ist gegeben durch: Durch Umformung erhält man die Koordinatengleichung der Ebeneals: Der Steigungswinkel ist der spitze Winkel zwischen der Ebene, in welcher die Liegewiese liegt und der -Ebene. Die Koordinatenformen dieser Ebenen lauten: Der spitze Winkel zwischen den Ebenen entspricht dem spitzen Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Es folgt: - Zunächst werden die Schattenpunkte auf der Liegewiese berechnet.
Die Hilfsgeraden durch die Punkte
, und lauten: Bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene, in der sich die Liegewiese befindet. Durch Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung werden Schnittpunkte für , und erhalten, also sind die Schattenpunkte auf der Liegewiese: Im Punktliegt der rechte Winkel des Dreiecks vor, denn Für alle Punkte auf der Liegewiese gilt:Dadiese Bedingungen erfüllen, ragt das Dreieck nicht über die Liegewiese hinaus. Die Fläche dieses Dreiecks beträgt Der Anteil an der Gesamtfläche beträgt dann:Also liegen ungefährder Liegewiese im Schatten.