Parameterdarstellung einer Gerade

Erklärung

Einleitung

Zu den grundlegenden geometrischen Objekten im dreidimensionalen Raum gehören

Punkte
Geraden
Ebenen.

In diesem Abschnitt lernst du, wie du eine Parameterdarstellung einer Geraden aufstellen kannst.

Eine Gerade wird beschrieben durch

Der Vektor

wird Stützvektor und der Vektor

Richtungsvektor der Geraden genannt.

Häufig wird zur besseren Übersicht keine nähere Angabe zu dem Skalar vor dem Richtungsvektor gemacht. Dann gilt mit obigen Bezeichnungen:

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Die Parameterform einer Geraden ist nicht eindeutig. Die folgenden Geradengleichungen beschreiben dieselbe Gerade:

Der Stützvektor ist der Ortsvektor zum Aufpunkt der Geraden, hier

. Für den Ortsvektor eines Punktes

gibt es mehrere Bezeichnungen, zum Beispiel

oder auch

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Punkte

Zeige, dass die Punkte

und

ein Dreieck bilden.

Lösung zu Aufgabe 1

Es genügt zu zeigen, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen. Dazu kann man zunächst eine Gleichung für die Gerade durch und aufstellen:

Nun überprüft man, ob der Punkt

auf

liegt:

In der ersten Zeile folgt

. Aus der zweiten Zeile folgt

. Dies zeigt, dass

nicht auf

liegt. Somit sind die drei Punkte

und

nicht kollinear und bilden ein echtes Dreieck.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Geradengleichung

Finde zwei weitere Darstellungen von

mit jeweils anderem Stütz-und Richtungsvektor.

Lösung zu Aufgabe 2

Zwei Geraden verlaufen parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Zwei Geraden sind identisch, wenn zudem beide Aufpunkte auf der Geraden liegen. Um weitere Darstellungen zu finden, setze für also eine beliebige Zahl ein, um einen weiteren Punkt auf der Geraden zu finden und nimm ein Vielfaches des Richtungsvektors. Zwei mögliche Darstellungen sind:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Gerade

Entscheide, welche der Punkte

auf

liegen.

Lösung zu Aufgabe 3

Punktprobe durchführen, indem für der Ortsvektor des Punktes eingesetzt wird und anschließend nach aufgelöst wird:
Lösen des enstandenen LGS:
Das LGS hat keine Lösung, also liegt der Punkt nicht auf der Geraden . Zu beachten ist, dass der Parameter in alle drei Gleichungen eingesetzt werden muss und sich dabei für alle Gleichungen gleichzeitig eine wahre Aussagen ergeben müssen.
liegt nicht auf der Geraden .
liegt auf der Geraden mit .

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Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben sind die Punkte

Finde die Gleichung einer Geraden

, die beide Punkte

und

enthält.

Lösung zu Aufgabe 4

Verwende einen der Punkte als Aufpunkt und finde den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten, dieser wird zum Richtungsvektor der Geraden. Die Geradengleichung lautet somit:

Beachte, dass die Darstellung der Geraden nicht eindeutig ist.

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Gibt es einen Parameter , so dass die Punkte

auf einer Gerade liegen?

Lösung zu Aufgabe 5

Zunächst wird die Gleichung für die Gerade durch die Punkte und aufgestellt. Die Geradengleichung lautet:

Dann wird der Punkt

für

eingesetzt und das LGS gelöst:

Folglich liegen die Punkte

auf einer Geraden.