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Wachstum

Bestände



Einleitung

Bestandsfunktionen sind Anwendungen von Funktionen oder deren Ableitungsfunktion, die im Zusammenhang von Wachstum oder Zerfall eine große Bedeutung haben. Deshalb ist als Beispiel häufig eine Exponentialfunktion (e-Funktion) gegeben, mithilfe deren viele standardmäßige Fragestellungen gestellt und beantwortet werden können. Dieser Artikel zeigt die Fragestellungen und ihre Lösungen hierzu auf.

Beispielaufgabe zu Beständen mit verschiedenen Aufgabentypen

Die momentane Neuerkrankungsrate einer Läuse-Epidemie in den Schulen eines Landkreises wird beschrieben durch die Funktion mit
wobei der Anzahl in Wochen seit Beobachtungsbeginn und der Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche entspricht. Bei Beobachtungsbeginn sind schon Schüler erkrankt. Jede Erkrankung wird dem Gesundheitsamt gemeldet. Im folgenden Schaubild ist der Graph von dargestellt.

Bestimmte Größe der Änderungsrate

Fragestellung: In welchem Zeitraum ist diese Erkrankungsrate größer als Neuerkrankungen pro Woche?
  • Bestimmung der Zeitpunkte, an denen die Neuerkrankungsrate Neuerkrankungen pro Woche entspricht. Setze und bestimme die Lösungen:
  • Zeitraum, in dem die Erkrankungsrate größer als ist.
Somit ist die Erkrankungsrate im Zeitraum von ungefähr bis Wochen nach Beobachtungsbeginn größer als Neuerkrankungen pro Woche.

Extremum der Änderungsrate

Fragestellung: Wann erkranken die meisten Schüler? Wie viele sind das?
  • Bestimmung der Extremstellen von . Zunächst wird die Ableitung der Funktion bestimmt. Es gilt:
    Die Nullstellen der Funktion sind gegeben durch:
    Die Existenz des Hochpunktes kann mit dem GTR bestätigt werden.
  • Bestimmung der Koordinaten des Hochpunktes. Bestimme die Funktionswert der soeben berechneten Extremstelle:
Somit erkranken die meisten Schüler zu Beginn der vierten Woche. Das sind ungefähr Schüler in dieser Woche.

Schnellste Abnahme der Änderungsrate

Fragestellung: Wann nimmt die momentane Erkrankungsrate am stärksten ab? Die Ableitung der Funktion wurde bereits bestimmt und es gilt:
Bestimmung des Minimums des Graphen von : Hierzu wird zunächst die zweite Ableitung gebildet:
Die Nullstelle der Ableitung ist gegeben durch:
Die Existenz des Tiefpunktes kann mit dem GTR bestätigt werden. Die Erkrankungsrate nimmt etwa in der Mitte der siebten Wochen nach Beobachtungsbeginn am stärksten ab.

Bestimmung des Gesamtbestands

Fragestellung: Wie viele Schüler wurden nach Wochen dem Gesundheitsamt gemeldet?
  • Berechnung der Anzahl der Neuerkrankungen. Die Fläche unter der Kurve von im Intervall entspricht der Anzahl der Schüler, die dem Gesundheitsamt in den ersten Wochen dem Gesundheitsamt gemeldet wurden. Es gilt:
  • Bestimmung der Anzahl der Gesamterkrankungen. Die Anzahl der Gesamterkrankungen setzt sich zusammen aus der Anzahl der Neuerkrankungen in den ersten Wochen und der Anzahl der zu Beginn der Beobachtung bereits erkrankten Schüler. Es gilt also:
Nach Wochen wurden dem Gesundheitsamt Schüler gemeldet.

Mittlere Änderungsrate

Fragestellung: Wie groß ist die mittlere Erkrankungsrate während der ersten Wochen?
  • Berechnung der Anzahl an Neuerkrankungen in den ersten Wochen. Die Anzahl der Neuerkrankungen in den ersten Wochen ist gegeben durch:
  • Bestimmung der durchschnittlichen Erkrankungsrate. Für die mittlere Erkrankungsrate gilt:
Die mittlere Erkrankungsrate während der ersten Wochen liegt bei etwa Neuerkrankungen pro Woche.

Gesamtzahl der Erkrankungen

Eine Gleichung einer Stammfunktion der Funktion ist gegeben durch
Bestimme eine Funktion , welche die Gesamtanzahl der gemeldeten Schüler nach Wochen angibt. Wann werden Schüler beim Gesundheitsamt gemeldet sein? Eine Gleichung einer Stammfunktion der Funktion ist gegeben durch
  • Bestimmung der Funktion . Es gilt:
    Bestimme das Integral nun unter Verwendung der angegebenen Stammfunktion:
  • Bestimmung des Zeitpunktes, an dem Schüler gemeldet wurden. Es gilt:
    Als Funktion für die Gesamtzahl an gemeldeten Schülern ergibt sich:
Am Ende der 9. Woche werden dem Gesundheitsamt Schüler gemeldet sein. Da man nicht jede Funktion mit Schulmethoden integrieren kann, wird häufig eine Stammfunktion in der Aufgabenstellung angegeben.

Einführung einer Abbaurate

Eine Expertin für Entlausung kommt drei Wochen nach Beobachtungsbeginn in einige Schulen. Sie schafft es, bei Schülern pro Tag die Läuse zu bekämpfen. Wie viele Schüler werden in den ersten Wochen von ihren Läusen befreit? Die Anzahl der Wochen, in denen die Expertin aktiv ist, ist gegeben durch:
Die Anzahl der Schüler, bei denen sie die Läuse in den Wochen bekämpft:
In den ersten Wochen werden Schüler von ihren Läusen befreit. Beachte, dass bei Rechnungen mit Abbaurate der momentane Bestand niemals negativ sein kann. Wird der Bestand zu einem Zeitpunkt , so fällt in diesem Moment auch die Abbaurate auf . Logisch: Gibt es keine Läuse mehr, hört die Entlauserin auf zu arbeiten.

Vollständiger Abbau

Wann hat die Expertin alle Läuse bekämpft?
  • Anzahl der Erkrankten nach Wochen. Die Gesamtanzahl an erkrankten Schülern wurde bereits bestimmt und es gilt:
  • Anzahl der Geheilten nach Wochen. Die Anzahl der Geheilten nach Wochen ist gegeben durch:
  • Bestimmung des Zeitpunktes, an dem alle geheilt sind. Bestimme den Zeitpunkt , an dem gilt:
Nach knapp Wochen hat die Expertin alle Läuse bekämpft. In dieser Konstellation geht man davon aus, dass die Schüler nur geheilt werden, wenn sie von der Expertin behandelt werden. Eine Heilung aus eigener Kraft ist nicht vorgesehen.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Es ist Erkältungszeit und die Rate der Impfversager bei der Grippeschutzimpfung ist in diesem Jahr ungewöhnlich hoch. Deshalb hat die Grippe ganz Deutschland fest im Griff. Besonders heftig ist ist die Situation in der Stadt Essen. Die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag kann ab dem 20. Februar () für die nächsten 12 Tage modelliert werden durch die Funktion mit:

mit in Tagen seit dem 20. Februar und in Neuerkrankungen pro Tag. Die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag in Dortmund lässt sich modellieren durch die Funktion . Die Graphen der Funktionen und sind in unten stehendem Schaubild dargestellt und dabei mit und bezeichnet.
  1. Essen und Dortmund haben in etwa gleich viele Einwohner. Vergleiche die Graphen von und und interpretiere das Schaubild im Sachzusammenhang.
  2. Erkläre die Bedeutung der Ausdrücke und .
  3. Berechne .
  4. Dr. Geiger behauptet, dass am 28. Februar in Dortmund der Höhepunkt der Grippewelle überschritten ist. Nimm Stellung zu dieser Aussage.
  5. Gib an, wie viele Neuerkrankungen es in Essen am 25. Februar gibt.
  6. Angenommen, das Modell gilt auch für . Wie viele Neuerkrankungen gäbe es dann am . Tag? Begründe, warum das Modell nicht für beliebige Zeiten gelten kann.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Am 20. Februar () erkranken in Essen Menschen neu und in Dortmund ca. Personen. In den nächsten Tagen steigt in beiden Städten die Anzahl der Neuerkrankungen an. Zunächst in ähnlichem Umfang. Ab dem 4. Tag jedoch ist die Neuerkrankungsrate in Dortmund geringer als in Essen. Am 8. Tag ist in Dortmund die Anzahl der Neuerkrankungen am höchsten und liegt bei ca. Neuerkrankungen pro Tag. In Essen steigt zu diesem Zeitpunkt die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag noch an. In Essen erreicht sie am 9. Tag ihr Maximum mit ca Neuerkrankungen. Da die Anzahl der Neuerkrankungen in Dortmund länger steigt, wird die Differenz zwischen den Neuerkrankungen pro Tag in beiden Städten zunächst immer größer. Aber auch nach dem 9. Tag wächst die Differenz weiter an. Am Ende des Beobachtungszeitraums liegt die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag in Essen bei ca. , hingegen in Dortmund scheint mit ca. Neuerkrankungen pro Tag die Grippewelle fast überstanden zu sein. Insgesamt ist die Anzahl der Neuerkrankungen in Dortmund stets kleiner als in Essen. Die Grippewelle verlief hier also deutlich milder.
  2. Der Term beschreibt die Anzahl der ab dem 20. Februar bis zum Ende der Beobachtungen erkrankten Personen. Der Term beschreibt den Mittelwert der Funktion im Intervall von bis , also wie viele Neuerkrankungen es im Schnitt pro Tag in den ersten Tagen in Essen gab.
  3. Es gilt:
    Am 20. Februar und in den kommenden Tagen erkranken ca. Personen neu an der Grippe.
  4. Für nimmt die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag wieder ab, das heißt das Maximum der Neuerkankungen ist überschritten. Somit hat er Recht mit seiner Aussage.
  5. Die Anzahl der Neuerkrankungen am 25. Februar entspricht genau dem Funktionswert für , also
    Es gibt also etwa Neuerkrankungen am 5. Tag.
  6. Es gilt:
    Am 16. Tag würden Personen neu erkranken. Dies macht keinen Sinn, denn die Anzahl der Neuerkrankungen pro Tag kann niemals negativ sein. Daher kann das obige Modell nicht für beliebige Zeiten gelten.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Morgens um 8 Uhr öffnet der Schalter einer Bank. Um 16 Uhr schließt die Bank ihren Eingang. Die restlichen Kunden müssen dann noch vom Schalterpersonal bedient werden, bis dieses Feierabend hat. Die Anzahl an Kunden, die die Bank betreten lässt sich beschreiben durch

( in Stunden seit Schalteröffnung, in Personen pro Stunde). Ein Bankmitarbeiter braucht eine Minute, um einen Kunden zu bedienen. Bei Schalteröffnung ist nur ein Mitarbeiter am Schalter. Um 12 Uhr kommen zwei weitere Mitarbeiter. Bis zum Betriebsschluss wird zu dritt gearbeitet.
  1. Zu welchem Zeitpunkt bildet sich erstmalig eine Schlange?
  2. Zu welchem Zeitpunkt betreten die meisten Kunden die Bank?
  3. Wie lange müssen die drei Mitarbeiter an diesem Tag arbeiten?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Erstmalig bildet sich eine Schlange, wenn die Ankunftsrate größer ist als eine Person pro Minute. Zunächst wird derjenige Zeitpunkt bestimmt, wenn genau Kunden pro Stunde die Bank betreten. Also:
    Aus einer Skizze mit dem GTR kann abgelesen werden, dass die Funktion in diesem Bereich monoton steigend ist. Damit bildet sich eine knappe Stunde nach Schalteröffnung die erste Schlange.
  2. Um zu ermitteln, wann die meisten Kunden die Bank betreten, muss das Maximum der Funktion ermittelt werden. Für die Ableitung gilt:
    Die Nullstellen der Ableitung sind gegeben durch:
    Die Lösung kann im Sachzusammenhang verworfen werden. Es gilt und , somit befindet sich an der Stelle ein Maximum. Kurz nach 12:30 Uhr betreten also die meisten Kunden pro Minute die Bank.
  3. Zunächst wird ermittelt, wie viele Kunden ab dem Moment, an dem sich erstmals eine Schlange gebildet hat, die Bank betreten. Für die Gesamtanzahl an Bankkunden in diesem Zeitraum gilt:
    Bis 12 Uhr arbeitet der erste Mitarbeiter Stunden und bearbeitet währenddessen Kunden. Somit sind ab 12 Uhr noch Kunden übrig. Pro Stunde bedienen die drei Mitarbeiter insgesamt Kunden. Für die Anzahl an Arbeitsstunden nach 12 Uhr folgt:
    Die Mitarbeiter müssen also bis kurz nach 16:30 Uhr arbeiten.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Betrachtet wird die Funktionenschar mit für . Die Funktionen dieser Schar werden verwendet, um die Durchflussgeschwindigkeiten an einer bestimmten Stelle eines Flusses für die ersten Monate nach Beobachtungsbeginn zu modellieren. Dabei ist in Monaten und in Mrd. Kubikmetern pro Monat gegeben.

  1. Wie viel Wasser fließt in den ersten Monaten durch einen Fluss, dessen Durchflussgeschwindigkeit durch die Funktion der oben genannten Funktionenschar modelliert werden kann?
  2. Die Durchflussgeschwindigkeit eines weiteren Flusses kann für den gleichen Zeitraum durch die Funktion der oben angegebenen Funktionenschar dargestellt werden. Zu welchem Zeitpunkt ist durch beide Flüsse gleich viel Wasser geflossen?

Lösung zu Aufgabe 3

  1. Zunächst wird der Wert des folgenden Integrals bestimmt:
    Somit sind in den ersten Monaten Mrd. Kubikmeter Wasser durch den Fluss geflossen.
  2. Bezeichne den gesuchten Zeitpunkt. Dann muss folgende Gleichung erfüllt sein:
    Bringt man die beiden Ausdrücke auf eine Seite, so vereinfacht sich die Gleichung. Dieser Schritt ist nicht notwendig, spart aber viel Arbeit. Es folgt:
    Nach Ausklammern von erhält man die Lösungen:
    Somit haben beide Flüsse nach Monaten die gleiche Menge Wasser transportiert.

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Zwei Autos und stehen an der Ampel und beginnen ein Wettrennen, sobald die Ampel auf grün schaltet.Die Geschwindigkeiten der Fahrzeuge werden beschrieben durch

( Zeit in Sekunden nach Beginn, Geschwindigkeit zum Zeitpunkt in ). Das Wettrennen dauert exakt eine Minute, bevor beide Fahrzeuge von der Polizei gestoppt werden.
  1. Mit welcher Geschwindigkeit werden die beiden Fahrzeuge jeweils gestoppt?
  2. Eines der beiden Fahrzeuge wird während des Rennens wieder langsamer. Welches? Was ist seine Höchstgeschwindigkeit?
  3. Wer gewinnt das Rennen? Welchen Abstand haben die beiden Fahrzeuge am Ende des Rennens?
  4. Nach wie vielen Metern Strecke überholt der Sieger den Verlierer?
  5. Zusatz CAS: Der Verlierer des Rennens ist am Anfang vorne. Was ist der maximale Abstand des Verlierers vor dem Gewinner, bevor der Verlierer überholt wird?

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Es gelten:

    und damit hat das Auto nach einer Minute eine Geschwindigkeit von und Auto eine Geschwindigkeit von .

  2. Leitet man die Funktion ab, so erhält man:

    Zeichnet man mithilfe des GTR ein Schaubild der Funktion , kann man erkennen, dass an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach hat. Die Geschwindigkeit des Autos ist also Sekunden nach Start am größten und damit bremst der Fahrer von Auto nach Sekunden ab. Für den Funktionswert an dieser Stelle gilt:
    Die Höchstgeschwindigkeit beträgt also .

  3. Um zu ermitteln, wer das Rennen gewonnen hat, bestimmt man den in einer Minute zurückgelegten Weg durch Integration. Mit Hilfe des GTR erhält man:

    Somit hat Auto eine Strecke von etwa und Auto eine Strecke von etwa zurückgelegt. Trotz niedrigerer Endgeschwindigkeit hat somit Fahrzeug gewonnen.

  4. Sei der Zeitpunkt an dem Fahrzeug das Fahrzeug überholt. Es gilt

    Mit dem GTR ermittelt man die Lösung zu Sekunden. Die zurückgelegte Strecke beträgt zu diesem Zeitpunkt
    Fahrzeug überholt Fahrzeug nach etwa .

  5. Betrachte die Abstandsfunktion

    Untersuche mit dem CAS die Funktion auf ein lokales Extremum zwischen und . Man bestimmt ein Extremum an der Stelle mit dem Wert . Somit beträgt der maximale Vorsprung von Fahrzeug gerade Meter.
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Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Für jedes ist eine Funktion gegeben durch

Die Funktionenschar kann benutzt werden, um die Durchflussgeschwindigkeiten an einer bestimmten Stelle eines Wasserrohres für die ersten Monate zu modellieren. Dabei ist in Monaten und in Tausend Kubikmetern pro Monat gegeben.
  1. Wie viel Wasser fließt in den ersten Monaten durch das Rohr, wenn die Durchflussgeschwindigkeit durch die Funktion der oben genannten Funktionenschar modelliert werden kann?
  2. Die Durchflussgeschwindigkeit eines weiteren Rohres kann für den gleichen Zeitraum durch die Funktion der oben angegebenen Funktionenschar dargestellt werden. Zu welchem Zeitpunkt ist durch beide Rohre gleich viel Wasser geflossen?

Lösung zu Aufgabe 5

  1. Man berechnet dazu den folgenden Ausdruck:
    Somit sind in den ersten Monaten etwa Kubikmeter Wasser durch das Rohr geflossen.
  2. Bezeichne den gesuchten Zeitpunkt. Dann muss folgende Gleichung erfüllt sein:
    Bringt man die beiden Ausdrücke auf eine Seite, so vereinfacht sich die Gleichung. Dieser Schritt ist nicht notwendig, spart aber viel Arbeit. Es folgt:
    Nach Ausklammern von erhält man die Lösungen:
    Somit haben beide Rohre nach Monaten die gleiche Menge Wasser transportiert. {{/cache}}
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 12:24:10 Uhr