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Nullstellen

Substitution zum Lösen von Gleichungen



Erklärung

Wann kann eine Substitution genutzt werden?

Wenn in einer Gleichung lediglich gerade Potenzen von auftreten, kann eine Substitution durchgeführt werden.

Wie du eine Substitution zum Lösen einer Gleichung durchführen kannst, siehst du in folgendem Rezept:

Bestimme die Lösungen der Gleichung
Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:
Schritt 2: Substitution: Setze , dann gilt:
Schritt 3: Löse die Gleichung (zum Beispiel mit der --Formel / Mitternachtsformel).
Schritt 4: Rücksubstitution: Löse , also:
Es folgt also .

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Um die Nullstellen zu berechnen, werden die Lösungen der Gleichung bestimmt.
    Wie im Rezept löst man dann die Gleichung
    Alles auf eine Seite bringen.


    Substitution mit

    Anwendung der --Formel / Mitternachtsformel: und .

    Rücksubstitution:
    Nullstellen

    Die Nullstellen der Funktion sind gegeben durch:
  2. Lösungsweg wie in Teil (a):
  3. Lösungsweg wie in Teil (a):

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Löse für folgende Gleichung.

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst wird die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert. Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil laut Aufgabenstellung gilt. Also

Alles auf eine Seite bringen:
Substitution mit :
Anwendung der --Formel / Mitternachtsformel: und

Rücksubstitution:
Lösungsmenge

Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit gegeben durch:
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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 15:05:57 Uhr