Nullstellen

Substitution zum Lösen von Gleichungen

Erklärung

Wenn in einer Gleichung lediglich gerade Potenzen von

$xMathe-Abitur$

auftreten, kann eine Substitution durchgeführt werden.

Wie du eine Substitution zum Lösen einer Gleichung durchführen kannst, siehst du in folgendem Rezept:

Bestimme die Lösungen der Gleichung

$\begin{align}x^4-5x^2=36.\end{align}Mathe-Abitur$

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:

$\begin{align}x^4-5x^2-36=0.\end{align}Mathe-Abitur$

Schritt 2: Substitution: Setze

$u=x^2Mathe-Abitur$

, dann gilt:

$\begin{align}u^2-5u-36=0.\end{align}Mathe-Abitur$

Schritt 3: Löse die Gleichung (zum Beispiel mit der

$pMathe-Abitur$

$qMathe-Abitur$

-Formel / Mitternachtsformel).

$\begin{align}u_{1,2}=\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}+36}\folgt u_1=9, \quad u_2=-4.\end{align}Mathe-Abitur$

Schritt 4: Rücksubstitution: Löse

$x^2=uMathe-Abitur$

, also:

$\begin{alignat}{2}u_1=9: \quad x^2=9 \gdw x_1=3, \quad x_2=-3 \\u_2=-4: \quad x^2=-4 \folgt...Mathe-Abitur$

Es folgt also

$\L=\{-3; 3\}Mathe-Abitur$

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- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen.

- Schwierigkeitsgrad:

Löse für folgende Gleichung.

Zunächst wird die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert. Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil laut Aufgabenstellung gilt. Also

Alles auf eine Seite bringen:

Substitution mit :

Anwendung der --Formel / Mitternachtsformel:

und

Rücksubstitution:

Lösungsmenge

Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit gegeben durch:

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 15:05:57 Uhr