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Titelbild | Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Zufallsvariablen

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung



Erklärung

Wie hängen die Begriffe "Wahrscheinlichkeitsverteilung" und "Zufallsvariable" zusammen?

Jedes Ergebnis eines Zufallsexperiments wird mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit angenommen.
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eine reelle Zahl x_1, x_2, x_3, \ldotsMathe-Abitur zu.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable gibt die Wahrscheinlichkeit p_1, p_2, p_3Mathe-Abitur zu jeder dieser Zahlen (und damit den zugehörigen Ergebnissen) an.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, ist dann die Wahrscheinlichkeit \begin{aligned}P(X=x_i)=p_i\end{aligned}Mathe-Abitur, dass die Zufallsvariable den zugehörigen Wert x_iMathe-Abitur annimmt.

Hinweis:
p_1+p_2+\ldots+p_n=1Mathe-Abitur, d.h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist stets 1Mathe-Abitur.

Zum besseren Verständnis dieser Begriffe schauen wir uns ein Beispiel an:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, einer ist genau ein Grad und ein zweiter 29Mathe-Abitur Grad groß. Wenn man das Glücksrad dreht und es bleibt in dem kleinsten Sektor stehen, gewinnt man 100Mathe-Abitur Euro, wenn es in dem \SI{29}{\degree}Mathe-Abitur-Sektor stehen bleibt, gewinnt man 10Mathe-Abitur Euro. In dem Sektor mit den übrigen \SI{330}{\degree}Mathe-Abitur gewinnt man nichts.
Die Zufallsvariable XMathe-Abitur wird definiert als Gewinn in Euro, sie kann die Werte 0Mathe-Abitur, 10Mathe-Abitur und 100Mathe-Abitur annehmen:
\begin{align}X: \text{Gewinn in Euro},\quad X\in \{0,10,100\}\end{align}Mathe-Abitur
Für die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten gilt:
\begin{align}p_1: P(X=x_1)=P(X=0)=\frac{330}{360},\\[1ex]p_2: P(X=x_2)=P(X=10)=\frac{29}{360},...Mathe-Abitur

Bemerkung:
In der Stochastik ist es manchmal praktisch, Brüche nicht zu kürzen, da man dann leichter überblicken kann, ob die Summe aller Wahrscheinlichkeiten tatsächlich 1Mathe-Abitur ergibt.
Endgültige Ergebnisse, zum Beispiel in Antwortsätzen, müssen aber natürlich gekürzt sein.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Zufallsgenerator liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von eine und mit einer Wahrscheinlichkeit von eine .
Es wird zunächst eine Zufallszahl generiert, dann eine Münze geworfen und dann eine weitere Zufallszahl generiert. Zeigt die Münze Kopf, wird die erste Zufallszahl von der zweiten subtrahiert, zeigt sie Zahl, werden die Zahlen addiert.
Die Zufallsvariable gibt das Ergebnis dieser "zufälligen Rechnung"an.
Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von .

Lösung zu Aufgabe 1

In einem ersten Schritt wird der Wahrscheinlichkeitsraum bestimmt, d. h. es wird bestimmt, welche Werte annehmen kann. Zeigt die Münze Zahl, dann werden die Zahlen addiert. Mögliche Ergebnisse sind hier

Wird Kopf angezeigt, dann wird die erste Zahl von der zweiten Zahl subtrahiert. Mögliche Ergebnisse sind nun
Damit ist die Stichprobenmenge, d.h. die Wertemenge von , bestimmt:
Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von zu bestimmen, muss für jedes Ereignis von die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden:
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung der folgenden Zufallsvariablen an.

  1. : Augensumme beim Würfeln mit einem Würfel.
  2. : Augensumme beim Würfeln mit zwei Würfel.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Hier ist . Da alle Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von gewürfelt werden, gilt:
  2. Die Augensumme zweier Würfel beträgt mindestens und höchstens . Hier gilt .

    Die Augensumme kann nur erreicht werden, wenn beide Würfel eine anzeigen. Also:
    Die Augensumme hingegen wird erreicht, wenn der Würfel A eine und Würfel B eine oder wenn Würfel A eine und Würfel B eine anzeigt. Also:
    Mit diesen Überlegungen erhält man folgende Tabelle:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Zwei Glücksräder tragen in gleich großen Abschnitten die Zahlen bis . Beide Glücksräder werden gedreht und die Zahlen addiert.
Ist das Ergebnis , dann wird der Hauptgewinn von Euro ausgeschüttet. Ist das Ergebnis eine Primzahl, bekommt man einen Trostpreis von Euro. In allen anderen Fällen bekommt man keinen Preis.
Die Zufallsvariable gibt den Gewinn des Glücksspiels an. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von .

Lösung zu Aufgabe 3

Die Zufallsvariable kann die Werte und annehmen. Also . Der Hauptgewinn wird nur dann erreicht, wenn beide Glücksräder eine anzeigen. Also:

Die Wahrscheinlichkeit für einen Trostpreis in Höhe von Euro beträgt:
Die Wahrscheinlichkeit für keinen Gewinn kann man über das Gegenereignis bestimmen:
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 14:24:28 Uhr