Erklärung
Was ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann dir im Abitur in verschiedenen Kontexten begegnen. Wir schauen uns ein Beispiel an:
Die Wahrscheinlichkeit, dass hingegen ein zufällig ausgewählter blonder Schüler ein Junge ist, beträgt
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Max macht gerade ein Auslandsjahr in Shanghai und möchte dort einen Marathon laufen.
Dazu muss er so oft es geht trainieren.
Leider erreicht die Luftverschmutzung in Shanghai an
- Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag die Luftverschmutzung zu hoch ist, um Sport zu treiben.
- Berechne
und . - Ermittle hieraus
. - Interpretiere die Bedeutung des in der vorherigen Teilaufgabe bestimmten Wertes. Erkläre, wie dieser Wert zustanden kommen kann.
Lösung zu Aufgabe 1
- Aus den Angaben des Textes kann man ablesen:
- Laut Aufgabenstellung ist die Vorhersage zu
korrekt. Dies bedeutet: Gibt es starke Luftverschmutzung, so sagt die Vorhersage mit -iger Wahrscheinlichkeit auch eine starke Luftverschmutzung vorher. Gibt es keine Luftverschmutzung, so gibt es mit -iger Wahrscheinlichkeit auch keine Vorhersage dafür. Somit lassen sich direkt aus der Aufgabenstellung folgende Wahrscheinlichkeiten bestimmen: Geht man jeweils zum Gegenereignis über, so erhält man noch die folgenden Wahrscheinlichkeiten:Nun lassen sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen:Weiter gilt: - Die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag die Prognose hohe Luftverschmutzung vorhersagt, ist
Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt damit:
- Die Wahrscheinlichkeit
bedeutet, dass es an einem Tag, für den hohe Luftverschmutzung vorausgesagt wurde, trotzdem mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. möglich ist, Sport zu treiben. Aus gesundheitlichen Gründen sollte Max an solchen Tagen trotzdem auf sein Training verzichten. Es mag auf den ersten Blick jedoch überraschen, dass die Vorhersage von hoher Luftverschmutzung nur in der Fälle auch eintritt. Dies erklärt sich dadurch, dass den Tagen mit Luftverschmutzung eine deutlich größere Anzahl an Tagen mit klarer Luft entgegen steht. Betrachtet man nur diese Tage, bedeutet die Ungenauigkeit der Vorhersage von , dass an Tagen fälschlicherweise hohe Luftverschmutzung vorhergesagt wird. Dies sind fast genauso viele wie die Anzahl der Tage mit tatsächlicher Luftverschmutzung.
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Peter hat
Lösung zu Aufgabe 2
Mit den Ereignissen