Erklärung
Wie können Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Konfidenzintervallen geschätzt werden?
Schätze die Trefferwahrscheinlichkeit
-
Schritt 1: Zunächst wird die Trefferwahrscheinlichkeit geschätzt (Schätzwert wird
genannt). Die beste Schätzung ist -
Schritt 2: Der Erwartungswert von
wird als angenommen. -
Schritt 3: Nun lässt sich die Standardabweichung von
gemäß folgender Formel bestimmen Wegenlässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern. -
Schritt 4: Gesucht ist also
mit -
Schritt 5: Ablesen in der Tabelle liefert
-
Schritt 6: Nun kann das Konfidenzintervall berechnet werden.
Beachte, dass man den Erwartungswert als
annimmt. -
Schritt 7: Teilt man diese Werte durch
bekommt man das Konfidenzintervall für : Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt mit-iger Sicherheit zwischen und .
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:In einer Umfrage unter
Berechne zum Konfidenzniveau
Lösung zu Aufgabe 1
Bei gegebenem
Wir können also wie mit einer normalverteilten Zufallsvariable rechnen.
Es gelten:
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Punker Kalle möchte gerne wissen wie viele Mercedes es in Hannover-Nordstadt gibt.
Daher läuft er montags quer durch Nordstadt und bricht bei 100 Mercedes den Stern ab.
Am Samstag läuft er nochmal quer durch Nordstadt und zählt die Mercedes, denen der Stern fehlt.
Von 120 Mercedes, die er zählt, sind 17 ohne Stern.
Kalle möchte einen Bereich angeben für die Anzahl der Mercedes in Hannover-Nordstadt angeben, der mit einer
Welchen Bereich wird er angeben?
Lösung zu Aufgabe 2
Zunächst betrachtet man nur den zweiten Teil der Aufgabe.
Dort beträgt die Stichprobengröße
Als Standardabweichung ergibt sich:
Als nächstes sucht man
Also liegt die Anzahl der beschädigten Mercedes im Intervall:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mercedes keinen Stern mehr hat, beträgt
Da der Größenbereich von