Erklärung
Wie hängt eine Bernoulli-Kette mit der Binomialverteilung zusammen?
- genau zwei verschiedene Ausgänge (Treffer/Niete) haben,
- voneinander unabhängig sind.
Wir betrachten dazu ein kurzes Beispiel:
- [
:] Es wird genau zweimal eine 6 gewürfelt. - [
:] Es wird mindestens zweimal eine 6 gewürfelt. Es sollen die Wahrscheinlichkeiten von und ermittelt werden.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Eine Infektion mit dem Ebolavirus vom Stamm EBOV, so wie er im Jahre 2014 in Westafrika auftrat, verläuft in etwa
Interpretiere den folgenden Term im Sachzusammenhang.
Lösung zu Aufgabe 1
Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit (
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Eine kleine Werkstatthalle soll durch das untere Koordinatensystem vereinfacht werden.
Ein Roboter beginnt im Koordinatenursprung sich auf den Weg zu seiner Ladestation zu machen.
Einmal pro Minute macht der Roboter einen Schritt.
Dabei bewegt er sich jeweils einen Meter weiter und zwar entweder nach rechts (d.h. in
Der Roboter entscheidet bei jedem Schritt neu in welche Richtung er sich bewegt.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Schritt nach rechts beträgt dabei
- Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter zur Ladestation, die sich bei
befindet? - Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter dabei über die Messstation
zur Ladestation ?
Lösung zu Aufgabe 2
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, da nur interessiert, ob der Roboter nach rechts (
- Um nach
zu gelangen muss der Roboter insgesamt 7 Schritte nach rechts und 6 Schritte nach oben gehen. Damit ergibt sich: Bei einer Ausführung von 13 Schritten muss er also 7 Schritte in-Richtung gehen. Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zu gelangt, wie folgt berechnen: Der Roboter gelangt mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefährzur Ladestation. - Der Weg des Roboters muss nun in zwei Teilwege zerlegt werden. Der Weg zur Messstation erfordert
Schritte, von denen 5 nach rechts gesetzt werden müssen. Damit ergibt sich: Für den zweiten Teilweg verbleiben nunSchritte, von denen nach rechts gesetzt werden müssen. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Roboter beide Wege geht, ergibt sich dann aus dem Produkt beider Wahrscheinlichkeiten:Der Roboter kommt mit einer Wahrscheinlichkeit vonsowohl bei als auch bei vorbei.
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Bad Max öffnet den Kofferraum des großen grauen Lieferwagens und wendet sich Really Bad John zu: "Da hast du's! Einen ganzen Lieferwagen voller Päckchen mit feinstem weißen Zeug. Jetzt sind wir quitt".
Really Bad John knurrt: "Du weißt, Bad Max, wenn mehr als zehn Prozent der Beutel kein feines weißes Zeug beinhalten, dann mach' ich dich platt. Darum machen wir jetzt Folgendes: Ich überprüfe fünf Päckchen. Und wenn darunter ein oder mehrere Päckchen kein feines weißes Zeug enthalten, dann
Während Really Bad John sich symbolisch mit einem Finger über die Kehle streicht mischt sich Really Bad Johns Freundin Evil Emma ein: "Ich habe eine bessere Idee. Du überprüfst zwanzig Beutel. Wenn darunter drei oder mehr kein feines weißes Zeug enthalten, dann
Und auch Evil Emma streicht mit ihrem Zeigefinger über ihre Kehle.
Bad Max schwitzt wie ein Hund, denn er hat tatsächlich zehn Prozent der Päckchen nicht mit feinem weißen Zeug befüllt.
Bad Max überlegt.
Bad Max rechnet.
Soll er sich für Really Bad Johns oder für Evil Emmas Vorschlag entscheiden?
Lösung zu Aufgabe 3
Die Wahrscheinlichkeit für ein Päckchen ohne feines weißes Zeug beträgt
Damit lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, dass Really Bad John und Evil Emma davon ausgehen, dass sich in mehr als
- Really Bad John überprüft
Beutel. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Really Bad John dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr. - Evil Emma überprüft
Beutel. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass Evil Emma dann Bad Max an den Kragen möchte, beträgt also ungefähr.
Bad Max sollte damit die Variante von Evil Emma wählen.
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Beim Roulette wird eine Kugel in einen rotierenden Kessel geworfen.
Die Kugel kann in einem der 37 Fächern, nummeriert von 0 bis 36, zum liegen kommen.
Jeweils 18 Fächer sind rot bzw. schwarz. Es werden 37 Spiele gespielt.
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass exakt zweimal die 13 kommt?
- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zehn- und höchstens zwölfmal rot kommt?