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Binomialverteilung

3M-Aufgaben (dreimal-mindestens Aufgaben)



Erklärung

3M-Aufgabe

Beispiel: Bei einem Glücksspiel gewinnt man mit einer Chance von . Wie oft muss man mindestens spielen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens einmal zu gewinnen?

  • Schritt 1: Schreibe die Aufgabe als Formel auf:
  • Schritt 2: Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen um:
  • Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses:
  • Schritt 4: Setze die Gleichung und die Ungleichung zusammen. Es soll also gelten:
    Löse diese Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus nach auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen beim Teilen durch erneut um:
Man muss mindestens mal spielen.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Radfahrer nehmen es oft mit den Verkehrsregeln nicht so genau. Besonders Till nicht. Er hat gelesen, dass Radfahrer nur in einem Prozent der Fälle erwischt werden, wenn sie bei Rot über die Ampel fahren.

  1. Pro Monat überquert er 50 rote Ampeln. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er im nächsten Monat
    • genau zweimal
    • mindestens dreimal erwischt.
  2. Einmal hatte Till Pech und kassierte 60 € Bußgeld und einen Punkt in Flensburg. In Zukunft möchte er klüger vorgehen. Wie oft darf er monatlich höchstens über Rot fahren, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von maximal mindestens einmal im Monat erwischt wird?

Lösung zu Aufgabe 1

Bezeichne die Anzahl, wie oft Till in einem Monat erwischt wird.

  1. Es wird die Binomialverteilung mit und verwendet:

  2. Hier kann (fast) wie im Rezept gerechnet werden:

    • Schritt 1: Schreibe die Aufgabe als Formel auf:
    • Schritt 2: Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Kleiner-als-Zeichen um.
    • Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
    • Schritt 4: Setze die Gleichung und die Ungleichung zusammen. Es soll also gelten:
      Löse diese Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus nach auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen erneut um.

    Till darf also maximal 22 Mal über eine rote Ampel fahren, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens mindestens einmal im Monat erwischt wird.

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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

In einer Stadt haben erfahrungsgemäß aller Fahrgäste der S-Bahn einen gültigen Fahrausweis.

  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer S-Bahn mit 70 Fahrgästen
    • genau drei
    • mindestens drei Schwarzfahrer befinden?
  2. Wie viele Fahrgäste muss der Kontrolleur mindestens überprüfen, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens auf mindestens einen Schwarzfahrer trifft?

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Es wird die Binomialverteilung mit und verwendet:

  2. Lösungsweg wie im Rezept:

    • Schritt 1: Schreibe die Aufgabe als Formel auf:
    • Schritt 2: Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen um.
    • Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
    • Schritt 4: Setze die Gleichung und die Ungleichung zusammen. Es soll also gelten:
      Löse diese Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus nach auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen erneut um.

    Der Kontrolleur muss mindestens 38 Fahrgäste überprüfen.

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Mathematik-Wettbewerb verläuft in drei Runden. Man wird zur nächsten Runde nur zugelassen, wenn man die vorherige Runde bestanden hat.

Einem Mathe-Überflieger gelingt eine erfolgreiche Teilnahme an der 2. Runde in aller Versuche. An wie vielen Mathewettbewerben muss dieser Schüler mindestens teilnehmen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einmal in der 2. Runde ausscheidet mindestens beträgt?

Lösung zu Aufgabe 3

Lösungsweg wie im Rezept:

  • Schritt 1: Schreibe die Aufgabe als Formel auf:
  • Schritt 2: Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen um:
  • Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses:
  • Schritt 4: Setze die Gleichung und die Ungleichung zusammen. Es soll also gelten:
    Löse diese Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus nach auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen erneut um.

Der Mathe-Überflieger muss an mindestens 19 Wettbewerben teilnehmen.

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Bei dem Spiel "Mensch ärgere Dich nicht"muss man eine würfeln um anzufangen. Man hat dabei stets drei Versuche (3-er Versuch). Wie viele 3-er Versuche muss man mindestens durchführen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens einmal eine gewürfelt zu haben?

Lösung zu Aufgabe 4

Zuerst wird berechnet, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist keine bei einem 3-er Wurf zu werfen:

Im Folgenden ist der Lösungsweg wie im Rezept:
  • Schritt 1: Schreibe die Aufgabe als Formel auf:
  • Schritt 2: Gehe zum Gegenereignis über. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen um:
  • Schritt 3: Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses:
  • Schritt 4: Setze die Gleichung und die Ungleichung zusammen. Es soll also gelten:
    Löse diese Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus nach auf. Dabei dreht sich das Größer-als-Zeichen erneut um.

Es müssen mindestens der -er Versuche durchgeführt werden.

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 14:30:40 Uhr