Erklärung
Einleitung
Die Strahlensätze machen Aussagen über Streckenverhältnisse, wenn zwei Geraden sich schneiden und von einem Paar paralleler Geraden geschnitten werden. Die Aussagen sind Folgerungen aus der zentrischen Streckung, wobei das Zentrum der Streckung der Schnittpunkt der beiden Geraden ist. Das Thema wird i.a. in der 10. Klasse behandelt, findet aber Anwendung in der
In diesem Artikel werden die Aussagen der beiden Strahlensätze vorgestellt.
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Erster Strahlensatz:
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Zweiter Strahlensatz:
Hinweis
Folgende Bezeichnungen werden verwendet:
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Sei
- In der Pyramide wird ein zur Grundfläche paralleler Zwischenboden eingezogen.
Der Zwischenboden teilt die Seitenkanten im Verhältnis
(ausgehend von der Grundfläche). Welchen Flächeninhalt hat der Zwischenboden? - Auf den Kanten
und liegen die Punkte beziehungsweise . Beide Punkte haben dieselbe Höhe über der Grundfläche. Ihr Abstand beträgt . Wie hoch befinden sie sich über der Grundfläche?
Lösung zu Aufgabe 1
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Die Grundfläche des Zwischenbodens wird von den Eckpunkten
, , und begrenzt. Diese befinden sich auf den jeweiligen Seitenkanten. Man wendet dafür den Strahlensatz im Dreieck an. Nach Aufgabenstellung gilt:Mit dem 2.Strahlensatz folgt daher:Der quadratische Zwischenboden hat Kantenlänge. Somit ist sein Flächeninhalt . -
Betrachten wir nun das Dreieck
mit den zusätzlichen Punkten und : Außerdem seider Mittelpunkt der Strecke und der Mittelpunkt der Strecke . Aus dem Aufgabentext folgt, dass gilt . Dann gilt für die Höhe des Bodens nach dem zweiten Strahlensatz: Aus der Aufgabenstellung erhält man:Mit dem Satz des Pythagoras gilt:und somitDie Punkteund haben eine Höhe von etwa über der Grundfläche.