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Matrizenrechnung

Inverse Matrix



Erklärung

Inverse einer Matrix und Einheitsmatrix

Sei eine quadratische Matrix. Eine Matrix heißt Inverse von , falls gilt:
Dabei bezeichnet die Einheitsmatrix. Die Einheitsmatrix hat die folgende Form:
Ist die Inverse von , so schreibt man auch .

Hinweis: Nicht jede Matrix besitzt eine Inverse.

Mit diesem Merksatz kann beispielsweise überprüft werden, ob eine Matrix die Inverse einer Matrix ist:

Gegeben sind die Matrizen:
Dann ist die Inverse von , denn es gilt:

Berechnung der Inversen

Gegeben ist die Matrix
Gesucht ist die inverse Matrix .
Schritte
  • Schritt 1: Schreibe die Einheitsmatrix rechts neben .
  • Schritt 2: Bringe die linke Seite mit Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Alles, was Du links tust, tue auch rechts. (Hier: Ziehe die erste Zeile zweimal bzw. viermal von der zweiten und dritten Zeile ab)
  • Schritt 3: Forme weiter um, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht (Hier: Addiere dreimal die letzte Zeile zur zweiten Zeile, etc.)
  • Schritt 4: Die Inverse ist dann durch die Matrix auf der rechten Seite gegeben.

Hinweis: Wenn die Matrix nicht invertierbar ist, so lässt sich dieses Verfahren nicht anwenden.
In diesem Fall ist es unmöglich, auf der linken Seite die Einheitsmatrix zu erhalten, weil beispielsweise eine Nullzeile entsteht.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Berechne - falls möglich - von folgenden Matrizen jeweils die Inverse:

Lösung zu Aufgabe 1

    • Schritt 1:
    • Schritt 2: Erzeuge Zeilenstufenform links:
    • Schritt 3: Erzeuge Einheitsarray links:
    • Schritt 4:

    • Schritt 1:
    • Schritt 2: Erzeuge Zeilenstufenform links:
      Folglich ist die Matrix nicht invertierbar.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Berechne - falls möglich - von folgenden Matrizen jeweils die Inverse:

Lösung zu Aufgabe 2

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 14:11:46 Uhr