Erklärung
Einleitung
Wachstum und Zerfall in der Natur können in vielen Fällen durch mathematische Funktionen beschrieben werden, und zwar z. B. durch
In diesem Artikel lernst du verschiedene Formen des Wachstums und ihre mathematische Beschreibung kennen.
- Nimmt eine Größe
in gleichen Zeitabschnitten um stets den gleichen Faktor zu oder ab, so liegt exponentielles Wachstum vor. Für die Bestandsfunktion gilt dann: Dabei istder Anfangsbestand und die Wachstumskonstante. Exponentielles Wachstum erfüllt die Differentialgleichung - Liegt beschränktes Wachstum vor, so ist der Bestand durch eine Sättigungsgrenze
nach oben beschränkt. Für die Bestandsfunktion gilt: Dabei istdie Sättigungsgrenze, der Anfangsbestand und die Wachstumskonstante. Beschränktes Wachstum erfüllt die Differentialgleichung - Liegt logistisches Wachstum vor, so ist der Bestand durch eine Sättigungsgrenze
nach oben beschränkt. Für die Bestandsfunktion gilt: Dabei istdie Sättigungsgrenze, der Anfangsbestand und die Wachstumskonstante. Logistisches Wachstum erfüllt die Differentialgleichung
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:In einem Laborschrank wurde im Jahr 1960 eine Menge von
- Stelle die Bestandsfunktion auf.
- Wieviel
befindet sich im Jahr 2015 im Schrank? - Kurz nach der Auslöschung der Menschheit finden Außerirdische den Laborschrank. Dort befinden sich noch
Gramm . Wie viele Jahre bleiben uns noch?
Lösung zu Aufgabe 1
Bei diesem Vorgang handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der korrekte Ansatz lautet also:
- Eine Halbwertszeit von
Jahren bedeutet, dass nach Jahren genau die Hälfte des anfänglichen Bestandes übrig ist. Es gilt also: Nach Division durchfolgt: Eine Gleichung der Bestandsfunktionlautet also - Zwischen 1960 und 2015 liegen 55 Jahre.
Der ursprüngliche Bestand aus dem Jahr 1960 war
Gramm. Nach 55 Jahren gilt: Es sind also noch etwaGramm vorhanden. - Gegeben sind der Anfangsbestand
und der aktuelle Bestand . Gesucht ist . Es gilt: Gerechnet vom Jahr 1960 verbleiben uns also noch gut 2972 Jahre. Somit steht uns die Auslöschung erst im April 4932 bevor.
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Auf einer einsamen Insel, bislang unentdeckt, und so wunderschön, dass sie noch niemals von einem Bewohner verlassen wurde, breitet sich eine Seuche aus.
Insgesamt leben
- Stelle die Funktionsgleichung für die Anzahl
der erkrankten Einwohner auf. - Wann sind
Menschen erkrankt? - Wann ist nur noch ein einziger Mensch gesund?
- Wie viele Kranke gibt es nach
Tagen?
Lösung zu Aufgabe 2
- Der Anfangsbestand ist
, denn zunächst ist nur ein Mann erkrankt. Die Sättigungsgrenze ist , denn mehr als Menschen können nicht erkranken. Somit gilt für die Anzahl der kranken Einwohner: Um die Konstantezu ermitteln, setzt man nun noch die verbleibende Information ein: Also: - Gesucht ist diejenige Zeit
, für die gilt: . Also: Nach ca.Tagen sind Inselbewohner erkrankt. - Genau wie im vorangegangenen Teil erhält man:
Nach ca.
Tagen sind alle bis auf einen Inselbewohner infiziert. - Es gilt:
Nach
Tagen sind bereits Einwohner krank.
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Zum Neujahr 2015 betritt ein neuer Mobilfunkanbieter den Markt.
Durch radikales Marketing gewinnt er monatlich
- Stelle eine Formel für die Änderungsrate der Kundenzahl auf.
- Bestimme eine Gleichung für die Funktion
. - Wie viele Kunden hat der Anbieter nach
Jahren? - Wie viele Kunden hat der Anbieter langfristig?
Lösung zu Aufgabe 3
- Der Anbieter gewinnt monatlich
Kunden und verliert seines Kundenbestands. Jeden Monat gilt daher: Somit ist die Änderungsrate gegeben durch: - Man vergleicht die soeben berechnete Änderungsrate
mit der Formel für beschränktes Wachstum. Diese lautet: Klammert man in obigem Ausdruck die den Faktoraus, so erhält man Somit liegt beschränktes Wachstum vor mitund . Wegen lautet die Bestandsgleichung: - Nach zehn Jahren sind
Monate vergangen. Somit ist der Bestand nach 10 Jahren gegeben durch: Nach 10 Jahren hat der Anbieter knappKunden. - Um den langfristigen Bestand zu bestimmen, berechnet man den Grenzwert des Funktionswertes
für . Es gilt: Auf lange Sicht kann der Anbieter alsoKunden binden.