Umfangreiche Analysis-Aufgaben zur Abiturvorbereitung

Einleitung

Um dich auf eine Klausur oder die schriftliche Abiturprüfung vorzubereiten, sind in diesem und weiteren Artikeln umfangreichere Aufgaben zusammengestellt:

Umfangreiche Geometrie-Aufgaben zur Abiturvorbereitung
Umfangreiche Stochastik-Aufgaben zur Abiturvorbereitung
Analysis-Aufgaben zur Abiturvorbereitung.

Alle Schwierigkeitsgrade der Teilaufgaben sind von leicht bis schwer.

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Der Dugong, der einzige heute noch lebende Vertreter der Gabelschwanzseekühe, ist in den Küstengebieten des Indischen Ozeans und in weiten Teilen des Westpazifiks heimisch.

In einer langjährigen Studie untersucht eine Biologin das Wachstum dieser Tiere. Hierbei begleitet sie das Dugong-Weibchen Kati von ihrer Geburt an für vier Jahre. Sie vermisst in regelmäßigen Abständen Katis Körpergröße und erstellt dabei folgendes Schaubild.

Bei ihrer Geburt ist Kati

lang. Am Ende der Aufzeichnungen der Biologin ist Kati

groß.

Finde eine passende Bezeichnung der Koordinatenachsen im angegebenen Schaubild und gib dabei auch passende Einheiten an.
Bestimme, wie viel Kati während des 4-jährigen Beobachtungszeitraums durchschnittlich pro Jahr wächst. Lies zudem den Zeitpunkt des größten Wachstums aus dem Schaubild ab und ermittle näherungsweise dessen Wert. Erkläre, inwiefern diese Werte mit den Begriffen der mittleren und momentanen Änderungsrate zusammenhängen.
Die Funktion des angegebenen Schaubilds heißt . Zeichne die erste und zweite Ableitung von in das angegebene Koordinatensystem ein.
In den Aufzeichnungen der Biologin sind folgende Ausdrücke vermerkt:
Gib im Sachzusammenhang an, was die Biologin mit diesen Ausdrücken meinen könnte. Neben den Dugong interessiert sich die Biologin auch für Amphibolis antarctica, eine Seegrasart, welche zu den bevorzugten Nahrungsmitteln der Dugong zählt. Hierbei beobachtet sie vier Monate lang die Ausbreitung des Seegrases auf einem bestimmten Areal auf dem Meeresgrund. Zu Beginn ihrer Aufzeichnungen sind in diesem Areal fünf Quadratmeter mit dem Seegras bedeckt. Zu Beginn der Aufzeichnungen nimmt die mit Seegras bedeckte Fläche mit 0,5 Quadratmetern pro Monat zu. Nach sechs Wochen bemerkt sie, dass sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Seegrases etwa verdoppelt hat. Den Zuwachs, d. h. die Änderungsrate der mit Seegras bedeckten Fläche notiert sie in folgendes Schaubild:
Finde eine passende Bezeichnung der Koordinatenachsen im angegebenen Schaubild und gib dabei auch die passenden Einheiten an.
Ermittle unter Verwendung des Schaubildes, wie viel Fläche näherungsweise nach 4 Monaten, d. h. am Ende der Aufzeichnungen der Biologin mit Seegras bedeckt ist.
Die im Schaubild angegeben Funktion soll durch , eine ganzrationale Funktion 2. Grades, approximiert werden. Diese soll durch die Punkte und verlaufen. Ermittle eine Funktionsgleichung von und zeichne das Schaubild der Funktion und die drei Punkte in das Schaubild ein.
Berechne
und erkläre, wie dieser Wert mit dem ermittelten Wert aus Teilaufgabe f) zusammenhängt.

Die Biologin möchte am Ende ihrer Beobachtung abschätzen, wie sich die mit Seegras bewachsene Fläche weiter ausbreitet. Hierbei geht sie davon aus, dass die Funktion auch zukünftig die Änderungsrate der mit Seegras bewachsenen Fläche gut modelliert.

i) Bestimme, wie viel Fläche gemäß dieser Annahme 6 Monate nach Ende der Aufzeichnungen der Biologin mit Seegras bewachsen sein wird.

j) Die Biologin weiß, dass in den kommenden Monaten das Dugong-Weibchen Kati ihre Sommerweidegründe aufsuchen wird. Die beobachtete Seegrasfläche liegt in Katis Sommerweidegründen und wird einen wesentlichen Bestandteil von Katis Nahrung darstellen. Vermutlich wird Kati dann monatlich 5 Quadratmeter Seegras abgrasen. Bestimme den Zeitpunkt, an welchem Kati frühestens ihre Sommerweidegründe aufsuchen darf, sodass die beobachtete Seegrasfläche ab Katis Anwesenheit nicht abnimmt.

Lösung zu Aufgabe 1

Zu Beginn der Aufzeichnung, im Jahr 0, ist Kati bzw. lang. Nach 4 Jahren ist sie bzw. lang. Ein Vergleich mit dem Schaubild, zeigt, dass die -Achse die Zeit in Jahren beschreibt. Die -Achse beschreibt die Länge von Kati in Metern.
Kati ist in den ersten 4 Jahren um Zentimeter gewachsen Dies entspricht einer mittleren Wachstumsrate von 39,25 Zentimetern pro Jahr. Der Zeitpunkt des größten Wachstums ist im Schaubild dort zu finden, wo die Steigung am größten ist. Dies ist am Wendepunkt der Fall. Aus dem Schaubild liest man ab, dass der Wendepunkt in etwa bei liegt. Somit ist Kati nach einem Jahr am schnellsten gewachsen. Um den Wert des schnellsten Wachstums zu bestimmen, legt man zeichnerisch eine Tangente an den Wendepunkt des Schaubilds:
Zeichnet man ein Steigungsdreieck ein, so kann man eine Steigung von etwa 0,7 ablesen. Die größte Wachstumsrate beträgt somit pro Jahr. Die mittlere Wachstumsrate entspricht der mittleren Änderungsrate von Katis Körperlänge. Die größte Wachstumsrate nach einem Jahr entspricht der momentanen Änderungsrate von Katis Körperlänge. Je nachdem wie sehr die Wachstumsgeschwindigkeit schwankt, können diese beiden Werte erheblich voneinander abweichen.
Aus der letzten Teilaufgabe ist bekannt, dass an der Stelle ein Maximum annimmt. Weiter ist stets positiv (Kati wird immer länger) und nähert sich langsam dem Wert 0 an. Im folgenden Schaubild ist die Funktion gestrichelt und die Funktion gepunktet eingezeichnet.
Der Ausdruck besagt, dass Katis Körperlänge sich langsam dem Wert 2 annähert. Das heißt: Wird sehr groß (also Kati sehr alt), so wird Kati allmählich 2 Meter lang. Der Ausdruck besagt, dass sich Katis Wachstumsgeschwindigkeit mit zunehmendem Alter gegen 0 bewegt. Das bedeutet langfristig wächst Kati so gut wie überhaupt nicht mehr.
Beginn der Beobachtung wächst das Seegras mit Quadratmetern pro Monat. Nach 6 Wochen wächst es mit etwa einem Quadratmeter pro Monat. Da das Schaubild durch die Punkte und geht und 6 Wochen in etwa 1,5 Monaten entsprechen, schließt man daraus, dass die -Achse die Zeit in Monaten angibt. Die -Achse gibt hingegen die Wachstumsrate des Seegrases in Quadratmetern pro Monat an.
Zu Beginn der Aufzeichnungen ist eine Fläche von fünf Quadratmetern bewachsen. Die in der Aufzeichnungszeit hinzugekommene Seegrasfläche lässt sich aus der Fläche zwischen Schaubild und -Achse ermitteln. Dabei entspricht jedes der im Diagramm eingezeichneten kleinen Gitterkästchen einer hinzu gekommenen Seegrasfläche von . Deren Anzahl muss nun abgeschätzt werden. Dafür lassen sich zunächst vier vollständige Quadratmeter finden und ein fünfter kann noch näherungsweise eingetragen werden.
Die verbleibende Fläche unter der Kurve entspricht insgesamt ungefähr weiteren Gitterkästchen, also etwa . Damit sind zu den ursprünglich fünf Quadratmetern noch etwa hinzugekommen. Am Ende der Aufzeichnungen sind also ca. mit Seegras bedeckt
Ein allgemeiner Ansatz für eine Funktion zweiten Grades ist
Setzt man die Punkte , und in diese Gleichung ein, so erhält man folgendes LGS:
Als Lösung des LGS ergibt sich , und . Somit ist die gesuchte Funktionsgleichung gegeben durch:
Im folgenden Schaubild ist diese Funktion mit den angegebenen Punkten dargestellt.
Es gilt:
Der Wert von entspricht der nach 4 Monaten vorhandenen Seegrasfläche in Quadratmetern, wobei im Unterschied zu Teilaufgabe f) hier die Näherungsfunktion für die Wachstumsrate verwendet wurde, der Flächeninhalt unter jedoch exakt bestimmt wurde.
Die bewachsene Fläche 6 Monate nach Ende der 4-monatigen Beobachtungszeit lässt sich wie folgt berechnen:
Sechs Monate nach Beobachtungsende werden also ungefähr mit Seegras bedeckt sein.
Wenn Kati monatlich abgrast und die Grasfläche dadurch nicht abnehmen soll, dann darf sie die Sommerweide erst erreichen, wenn die Wachstumsrate mindestens 5 Quadratmeter pro Monat beträgt. Damit ist die folgende quadratische Gleichung zu lösen:
Unter Verwendung der Mitternachtsformel ergeben sich die beiden Lösungen:
Die zweite Lösung kann ausgeschlossen werden, da sie vor dem Beobachtungsbeginn liegt. Somit darf Kati die Sommerweide frühestens Monate nach Beobachtungsbeginn beziehungsweise Monate nach Beobachtungsende erreichen.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Durch eine Handelsflotte wurden Hasen auf eine bis dahin hasenfreie Insel gebracht. Die Regierung dieser Insel beauftragt einen Biologen mit der Beobachtung der Hasenpopulation.

Die folgende Tabelle spiegelt seine Aufzeichnungen wider:

Eine Mathematikerin versucht die Vermehrung des Hasen anhand eines mathematischen Modells zu beschreiben. Ihre erste Arbeitshypothese ist, dass sich die Hasen gemäß einer Funktion

entwickeln, wobei

mit

in Wochen seit Beobachtungsbeginn und

in Anzahl der Hasen zum Zeitpunkt

ist.

Bestimme aus der Hasenpopulation zu Beginn der Aufzeichnung () und nach 5 Wochen () die Werte der Parameter und im obigen Modell. Runde diese auf zwei Nachkommastellen.
Vergleiche die in obigem Modell zu erwartende Anzahl an Hasen mit der tatsächlich beobachteten nach Wochen.
Wann ist in dem durch beschriebenen Modell die momentane Zuwachsrate größer als 8 Hasen pro Woche?
Bestimme, wann es nach diesem Modell erstmalig mehr als Hasen auf der Insel gibt.
Begründe, weshalb dieses Modell nicht die Realität abbilden kann.

Die Mathematikerin korrigiert aufgrund der Überlegungen in Aufgabenteil (e) ihre Aussage und vermutet, dass sich die Hasenpopulation der Insel näherungsweise gemäß der Funktion mit
entwickelt. Dabei bezeichne die Anzahl der Wochen nach Beobachtungsbeginn und die Anzahl der Hasen.
Im folgenden Schaubild ist der Graph der Funktion mitsamt seinen Asymptoten eingezeichnet.
Gib an, welche Eigenschaften der Funktion sich direkt aus dem Schaubild entnehmen lassen und erläutere ihre Bedeutung bezogen auf die Entwicklung der Hasenpopulation.
Bestimme welche Anzahl von Hasen langfristig auf der Insel zu erwarten ist, wenn man das durch beschriebene Modell zugrunde legt.
Bestimme zu welchem Zeitpunkt laut dem zweiten Modell der langfristigen Anzahl an Hasen die Insel bevölkern.
Welche Bedeutung hat der Ausdruck im Sachzusammenhang? Gegeben ist die Funktionenschar
Ihr Schaubild sei .
Bestimme den Wendepunkt der Funktionenschar in Abhängigkeit von .
Gib eine Gleichung für eine Kurve an, auf der alle Wendepunkte von liegen.

Lösung zu Aufgabe 2

Für die Funktion
sind die Parameter und gesucht, so dass gilt und :
Die Funktionsgleichung für das erste Modell ist damit
Wegen
wären nach dem Modell nach 20 Wochen 121 Hasen auf der Insel zu erwarten. Laut Aufgabenstellung sind es aber tatsächlich nur 105 Hasen, also 16 Hasen weniger.
Es gilt:
Durch Lösen der Gleichung wird nun ermittelt, wann die Zuwachsrate erstmals den Wert von 8 Hasen pro Woche erreicht:
Weiter wird nun die zweite Ableitung von untersucht. Diese ist gegeben durch
Da diese stets größer als 0 ist, nimmt stets zu. Also ist in dem Modell die Zuwachsrate nach ca. 19,11 Wochen, also ab dem ersten Tag der 20. Woche, größer als 8 Hasen pro Woche.
Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem es nach dem Modell erstmalig mehr als 150 Hasen auf der Insel gibt. Dafür wird die Ungleichung nach aufgelöst:
Nach dem Modell sollte es dann nach 23 Wochen erstmals mehr als 150 Hasen auf der Insel geben.
Das Modell kann nicht die Realität abbilden, da mit diesem gelten würde
Die Anzahl der Hasen auf der Insel ist aber zumindestens durch das endliche Nahrungsangebot begrenzt.
Gesucht sind Aussagen über die Funktion beziehungsweise die Entwicklung der Hasenpopulation, die sich direkt aus dem gegebenen Schaubild des korrigierten Modells ablesen lassen.
- Der Funktionswert an der Stelle beträgt . Das ist der Bestand an Hasen bei Beobachtungsbeginn.
- Die Steigung der Funktion ist stets positiv. Die Funktion ist also streng monoton wachsend. Das bedeutet, dass die Hasenanzahl ständig zunimmt.
- Die Funktion hat einen Wendepunkt. Bis zu diesem nimmt die Steigung der Funktion ständig zu, danach nimmt sie wieder ab. Somit vergrößert sich die Anzahl der Hasen zunächst immer schneller, danach verlangsamt sich der Zuwachs dann aber stetig.
- Für nähert sich die Funktion der Asymptote an. Das ist die Anzahl der Hasen, die die Population langfristig umfassen wird.
Gesucht ist die langfristige Größe der Hasenpopulation im korrigierten Modell
Dafür muss das Verhalten von für untersucht werden. Es gilt
und damit
Mit dem korrigierten Modell umfasst die Hasenpopulation langfristig 600 Hasen.
Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem erstmalig mehr als der langfristigen Anzahl an Hasen auf der Insel leben. Die langfristige Anzahl Hasen wurde bereits mit 600 Hasen ermittelt. davon sind . Damit muss die Gleichung gelöst werden:
Nach ungefähr Wochen gibt es auf der Insel erstmalig mehr als der langfristigen Anzahl an Hasen.
Der Ausdruck ist die, nach dem korrigierten Modell berechnete und in Hasen pro Woche angegebene, momentane Zuwachsrate 20 Wochen nach der Ankunft der Hasen auf der Insel.
Gesucht sind die Wendepunkte der Funktionenschar
Hierfür werden die zweite Ableitung zur Bestimmung möglicher Wendestellen und die dritte Ableitung zum Nachweis, dass eine Wendestelle vorliegt, benötigt:
Da die dritte Ableitung stets größer als Null ist, liegt für die Lösung der Gleichung eine Wendestelle vor. Zu dieser muss dann noch der zugehörige Funktionswert berechnet werden:
Die Wendepunkte der Funktionenschar befinden sich also bei
Es soll eine Ortskurve bestimmt werden, auf der alle Wendepunkte liegen:
Die Gleichung der Kurve, auf der alle Wendepunkte der Funktionenschar liegen, lautet