Erklärung
Einleitung
Bevor man mit der Kurvendiskussion des Graphen einer Funktion
Der maximale Definitionsbereich
Grundsätzlich kann der Definitionsbereich einer Funktion vom Aufgabensteller willkürlich festgelegt werden. So kann zum Beispiel der Verfasser einer Mathe-Abi Aufgabe entscheiden, dass die Funktion
Beispiel:
Jeder weiß, dass man niemals durch Null teilen darf (Apokalypse vermeiden, etc.).
Der Definitionsbereich
Wichtige Symbole
Es gibt nichts ärgerlicheres als die Bedeutung eines Symbols nicht zu kennen und deshalb eine Aufgabe nicht lösen zu können. Deshalb haben wir die wichtigsten Symbole für die Beschreibung von Mengen hier einmal zusammengefasst:
Zeichen
Bedeutung
Definitionsmenge
Leere Menge
Menge bestehend aus
Menge aller
Vereinigung der Mengen
Schnittmenge zwischen
Menge
Natürliche Zahlen
Natürliche Zahlen einschließlich 0
Ganze Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen: Reelle Zahlen die nicht als Bruch darstellbar sind. Die Dezimaldarstellung einer irrationalen Zahl hat unendlich viele Stellen und ist nicht periodisch. Beispiel:
Reelle Zahlen: alle Zahlen die auf dem Zahlenstrang darstellbar sind. Die reellen Zahlen bestehen aus den Rationalen und Irrationalen Zahlen
Alle positiven reellen Zahlen ohne 0
Alle positiven reellen Zahlen mit 0
Alle negativen reellen Zahlen ohne 0
Alle negativen reellen Zahlen mit 0
Definitionsbereich bestimmen
Den Definitionsbereich bestimmen bedeutet also lediglich:
Herausfinden, welche Werte von
Definitionsbereich ganzrationaler Funktionen
Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt und haben die Form
Definitionsbereich bei Brüchen
Man darf nicht durch Null teilen! Deshalb sind die Nullstellen des Nenners nicht im Definitionsbereich enthalten.
Beispiel:
Betrachtet wird die Funktion
Definitionsbereich bei Wurzeln
Der Ausdruck in der Wurzel, der Radikand, muss größer oder gleich Null sein. Daraus folgt:
Beispiel:
Es wird folgende Funktion
Damit ergibt sich als Definitionsbereich
Definitionsbereich der e-Funktion
Definitionsbereich der Logarithmusfunktion
Beispiel:
Betrachtet wird nun die Funktion
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme den Definitionsbereich
Lösung zu Aufgabe 1
- Die Funktion
ist nur an den Stellen und nicht definiert. Es ergibt sich also: Gelesen wird dies:. - Zunächst muss man die Nullstellen der inneren Funktion bestimmen:
Es handelt sich um eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel. Daher berechnet man jetzt zum Beispiel:Damit ergibt sich:
- Es gilt:
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist die Funktion
- Bestimme
. - Bestimme dasjenige
mit .
Lösung zu Aufgabe 2
- Der Nenner darf nicht
werden, also muss gelten. Damit erhält man: . - Es gilt:
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist die Funktion
- Bestimme
. - Bestimme dasjenige
mit .
Lösung zu Aufgabe 3
-
Die Einschränkungen des Definitionsbereichs werden sowohl von der Wurzelfunktion als auch der Logarithmusfunktion verursacht. Das Argument im
muss positiv sein. Damit sind alle negativen Zahlen und die bereits ausgeschlossen und es bleibt maximal . Für die Wurzelfunktion gilt: Der Radikand muss nichtnegativ sein. Es muss also gelten:
Also gilt für den Definitionsbereich: -
Es gilt:
Weil quadriert wurde, muss eine Probe durchgeführt werden. Es gilt:Damit ist das gesuchtegerade .