Erklärung
Was ist ein uneigentliches Integral?
Wie kann ein uneigentliches Integral rechnerisch bestimmt werden?
Im folgenden Rezept siehst du, wie ein uneigentliches Integral mithilfe von 3 Schritten rechnerisch bestimmt werden kann:
-
Schritt 1: Führe eine variable rechte Grenze
ein und stelle einen Term für den Flächeninhalt auf: -
Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von
: -
Schritt 3: Bestimme den Grenzwert für
:
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der
Lösung zu Aufgabe 1
- Betrachte
Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:
- Mit der selben Vorgehensweise erhalten wir hier:
Hier gilt jedochDaher ist der eingeschlossenen Flächeninhalt nicht endlich groß.
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Ein Heliumballon startet am Erdboden senkrecht nach oben.
Seine Geschwindigkeit lässt sich durch die Funktion
- Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Ballon zu Beginn?
- Zeige, dass sich der Ballon zu jedem Zeitpunkt aufwärts bewegt.
- Welche Höhe kann der Ballon maximal erreichen?
- Wie lange dauert es, bis der Ballon die Hälfte der Maximalhöhe erreicht hat?
Welche Geschwindigkeit hat er zu diesem Zeitpunkt?
Lösung zu Aufgabe 2
. - Der Nenner von
ist eine binomische Formel. Daher gilt: Nun erkennt man, dass stetsgilt. Also ist die Geschwindigkeit stets positiv und der Ballon bewegt sich daher immer aufwärts. - Für die Höhe
zum Zeitpunkt gilt: Dabeträgt die maximale Steighöhe des Ballons . Diese Höhe wird der Ballon allerdings nie erreichen, er wird sich dieser nur beliebig nahe annähern. - Gesucht ist der Zeitpunkt
, für den gilt. Mit den Ergebnissen der letzten Teilaufgabe folgt: Nach einer Stunde hat der Ballon die halbe Maximalhöhe erreicht. Seine Geschwindigkeit beträgt dann
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Überprüfe, ob folgende Funktionen im ersten Quadranten einen endlichen Flächeninhalt mit der
Ist dies der Fall, so gib den Flächeninhalt an.
Lösung zu Aufgabe 3
- Betrachte
Der Flächeninhalt ist endlich und beträgt:
- Mit der selben Vorgehensweise erhalten wir hier:
Hier gilt jedochDaher ist der eingeschlossene Flächeninhalt nicht endlich groß.