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Integralrechnung

Rotationskörper



Erklärung

Wie entsteht ein Rotationskörper?

Lässt man den Graphen einer Funktion im Bereich um die -Achse rotieren entsteht ein Rotationskörper.

Für das Volumen des Rotationskörpers gilt:
  • Achtung: Erst quadrieren, dann aufleiten!
  • Beim Rechnen das nicht vergessen!

Wie diese Formel angewendet wird, siehst du in folgendem Beispiel:

Bei der Rotation der Funktion um die -Achse im Intervall entsteht ein Rotationskörper.
Dessen Volumen soll bestimmt werden.



Mit obiger Formel gilt dann für das Volumen:

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Hersteller von Vorratsdosen gibt eine Schüssel speziell zum Einfrieren von Soßen in Serienproduktion.
Die Schüssel wird durch die, im Intervall um die -Achse rotierende, Funktion mit

beschrieben.

Dabei sind und in angegeben. Die Schüssel ist hoch.
  1. Für die Schüssel soll ein Deckel produziert werden, der einen halben Zentimeter über den Rand ragt.
    Bestimme den Durchmesser des Deckels.
  2. Wasser vergrößert beim Übergang in den festen Zustand (Eis) sein Volumen.
    Da die Schüssel zum Einfrieren von Soßen genutzt werden soll, muss eine maximale Füllhöhe angegeben werden, für die der Deckel nicht abspringt.
    Es wird angenommen, dass das Volumen einer Soße beim Einfrieren um Prozent zunimmt.
    Bestimme die Höhe , auf welcher der Eichstrich für die maximale Füllhöhe angesetzt werden muss.
  3. Ist die Schüssel maximal gefüllt und wird sie nach dem Gefriervorgang aus dem Gefrierfach genommen, wird der Auftauvorgang beschrieben durch die Funktion:
    ( in Stunden, in ).
    Die Soße ist bei einer Temperatur von aufgetaut.
    Bestimme die Temperatur des Gefrierschranks und die Zeit, die die Soße zum Auftauen benötigt.

Lösung zu Aufgabe 1

  1. Den Radius der Schüssel erhält man, wenn man in die Funktion einsetzt:
    Somit ist der Durchmesser des Deckels , also .
  2. Zunächst soll das Fassungsvermögen der Schüssel bestimmt werden.
    Dieses entspricht dem Volumen des Rotationskörpers. Also:
    Dieses Volumen entspricht des zulässigen Füllvolumens.
    Per Dreisatz oder Prozentformel erhält man für das zulässige Füllvolumen:
    Die gesuchte Höhe des Eichstriches erhält man mit dem Ansatz
    Da muss der Eichstrich an der Stelle
    gesetzt werden.
  3. Die Temperatur des Gefrierschranks entspricht der Temperatur der Soße zum Zeitpunkt . Das ist
    Also hat der Kühlschrank eine Temperatur von .
    Den Zeitpunkt , an dem die Soße aufgetaut ist, ermittelt man aus:
    Somit ist die Soße nach knapp 5 Stunden aufgetaut.

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Folgende Funktionen rotieren im Intervall um die -Achse.
Bestimme die Volumina der entstehenden Rotationskörper.

Lösung zu Aufgabe 2

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktion

Die Funktion rotiert um die -Achse.
Welches Intervall von Längeneinheiten mit positiven Grenzen muss gewählt werden, damit das Volumen des Rotationskörpers der Funktion über diesem Intervall den Wert hat?

Lösung zu Aufgabe 3

Gesucht ist Intervall Intervall , wobei und positiv sind und sowie gilt.

Allgemein lautet das Volumen des Rotationskörpers im Intervall :

Man setzt und in die Gleichung ein:
Also . Damit ist das gesuchte Intervall gefunden:

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Für ist folgende Funktionenschar gegeben:

Ein Hersteller von Glasvasen möchte eine Vase herstellen, deren Innenwand sich durch die Rotation einer Funktion der Schar im Intervall um die -Achse beschreiben lässt.
Die Größen und sind hierbei in Dezimetern gegeben.
  1. Die Vase soll einen Inhalt von 1 Litern fassen. Bestimme auf drei Nachkommastellen genau.
  2. Die Außenwand wird durch die Funktion beschrieben. Aus wie vielen Kubikzentimetern Glas besteht die Vase?

Lösung zu Aufgabe 4

  1. Beachte, dass bei einer Längeneinheit von einem Dezimeter 1 Volumeneinheit einem Volumen von 1 Liter entspricht.
    Der Parameter kann aus folgendem Ansatz ermittelt werden:
    Ein Computeralgebrasystem kann hier sofort die Lösung finden. Will man es von Hand finden, müssen einige Rechenschritte ausgeführt werden:
    Setzt man dies gleich 1, so folgt
    Wegen ist die Lösung .
  2. Um das Volumen des Glases zu bestimmen, wird das Volumen des inneren Rotationskörpers vom Volumen des äußeren Rotationskörpers subtrahiert.
    Da eine Volumeneinheit ein Liter beträgt und nach Kubikzentimeter gefragt ist, muss man mit dem Faktor 1000 multiplizieren.
    Somit erhält man das gesuchte Volumen des Glases:

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Folgende Funktionen rotieren im Intervall um die -Achse. Bestimme die Volumina der entstehenden Rotationskörper.

Lösung zu Aufgabe 5

Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 12:12:34 Uhr