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Integralrechnung

Mittelwert



Erklärung

Wie kann der Mittelwert einer Funktion berechnet werden?

Sei eine Funktion.
Der Mittelwert von auf dem Intervall berechnet sich als

Der Mittelwert einer Funktion soll häufig im Kontext von anwendungsbezogenen Aufgaben berechnet werden. Eine mögliche Formulierung einer solchen Aufgabe findest du im folgenden Beispiel:

Ein Auto beschleunigt 30 Sekunden lang.
Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ist gegeben durch
in Sekunden, in .

Es soll berechnet werden, wie groß die Durchschnittsgeschwindigkeit während dieser 30 Sekunden ist.
Für die Durchschnittsgeschwindigkeit gilt
Im Schnitt ist das Auto also mit einer Geschwindigkeit von gefahren.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Die Funktion mit

beschreibt die Wassermenge in einem Teich während eines immer stärker werdenden Wolkenbruchs in Tausenden von Litern mit in Stunden.
Wieviel Liter Wasser befinden sich während der ersten zwei Stunden durchschnittlich in dem Teich?

Lösung zu Aufgabe 1

Es gilt:

Es befinden in den ersten zwei Stunden des Wolkenbruchs also durchschnittlich 4195 Liter Wasser in dem Teich.
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Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Eine Wetterstation misst zwischen 6 Uhr und 18 Uhr die Außentemperatur, die an einem Tag näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben wird:

in Stunden seit 6 Uhr, in Grad Celsius.
  1. Wie hoch war die Temperatur zu Beobachtungsbeginn und um 12 Uhr mittags?
  2. Was war die Tageshöchstemperatur?
  3. Wie hoch war die Durchschnittstemperatur im Beobachtungszeitraum.

Lösung zu Aufgabe 2

  1. Der Beobachtungsbeginn ist um 6 Uhr morgens, dies entspricht also .
    Analog entspricht 12 Uhr mittags dem Zeitpunkt . Es gilt
    Die Temperatur um 6 Uhr morgens betrug .
    Die Temperatur am Mittag betrug .
  2. Um das Maximum zu finden, bildet man die beiden ersten Ableitungen:
    Die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen sich mit der Mitternachtsformel bzw. -Formel zu
    Eingesetzt in die zweite Ableitung ergibt sich
    Somit liegt bei ein Maximum vor. Einsetzen von in liefert die Maximaltemperatur:
    Die Maximaltemperatur wurde um 10 Uhr morgens () angenommen, sie lag bei .
  3. Beobachtungsbeginn ist bei , Beobachtungsende ist bei .
    Somit gilt für die mittlere Temperatur :
    Die Durchschnittstemperatur an diesem Tag betrug .
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 12:12:07 Uhr