Integrationsregeln

Erklärung

Stammfunktionen elementarer Funktionen

$\begin{align}\begin{array}{c||c|c|c|c|c}f(x) x^n, n\neq -1 \e^{x} \sin(x) \cos(x) \dfrac...Mathe-Abitur$

Umgang mit Summen und Differenzen

Summen und Differenzen von Funktionen werden getrennt aufgeleitet. Konstante Faktoren bleiben stehen.

Gesucht ist eine Stammfunktion von

$\begin{align}f(x)=10x^4+\frac{3}{x}.\end{align}Mathe-Abitur$

Entsprechend obiger Regel werden beide Summanden getrennt aufgeleitet. Die Faktoren

$10Mathe-Abitur$

und

$3Mathe-Abitur$

bleiben einfach stehen, also

$\begin{align}F(x)=10\cdot \frac{1}{5} x^5 + 3 \ln(x)=2 x^5 +3\ln(x).\end{align}Mathe-Abitur$

Gesucht ist eine Stammfunktion von

$\begin{align}f(x)=10x^4+3x^2\end{align}Mathe-Abitur$

Entsprechend obiger Regel werden beide Summanden getrennt aufgeleitet. Die Faktoren

$10Mathe-Abitur$

und

$3Mathe-Abitur$

bleiben einfach stehen, also

$\begin{align}F(x)=10\cdot\frac{1}{5}x^5+3\cdot\frac{1}{3}x^3=2x^5+x^3.\end{align}Mathe-Abitur$

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Lineare Substitution

Eine Verkettung der Form

wird nach folgender Regel aufgeleitet:

In Worten: "Äußere Aufleitung mal den Kehrwert der inneren Ableitung."

Gegeben ist die Funktion

. Mit der Notation wie im Merksatz gilt:

Demnach gilt:

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Gib jeweils eine Stammfunktion von an:

Lösung zu Aufgabe 1

.
.
.
.
Zunächst multipliziert man den Term aus und erhält
Damit folgt
Hier kürzt man zunächst einmal den Bruch mit durch:
Es folgt

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme eine Stammfunktion der Kurvenschar .

Lösung zu Aufgabe 2

Die Zahl wird wie eine gewöhnliche Zahl behandelt. Beachte, dass nicht von abhängt. Es gilt:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Finde jeweils die Stammfunktion zur Funktion , deren Graph durch den Punkt verläuft.

Lösung zu Aufgabe 3

Um die Stammfunktion durch den Punkt zu finden, bildet man zunächst eine allgemein Stammfunktion mit konstantem Term und setzt dann die Werte von ein, um herauszufinden, was ist.

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils eine Stammfunktion der folgenden Funktionen

Lösung zu Aufgabe 4

Aufgabe

- Schwierigkeitsgrad:

Finde eine Stammfunktion folgender Kurvenschar

Lösung zu Aufgabe

Der Parameter wird wie eine gewöhnliche Zahl behandelt. Daher ergibt sich für die Stammfunktion

Aufgabe

- Schwierigkeitsgrad:

Finde eine Stammfunktion folgender Kurvenschar

Lösung zu Aufgabe

Der Parameter wird wie eine gewöhnliche Zahl behandelt. Daher ergibt sich für die Stammfunktion