Erklärung
Was ist ein bestimmtes Integral?
Wir betrachten folgendes Beispiel:
Wir betrachten ein weiteres Beispiel:
Besonderheiten bei der Berechnung des bestimmten Integrals
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Schreibe zu beiden Schaubildern jeweils die markierten Flächen als Integral der Funktionen
Lösung zu Aufgabe 1
- Es gilt für den schraffierten Flächeninhalt:
- Hier ist der Flächeninhalt gegeben durch
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Berechne folgende bestimmte Integrale:
Lösung zu Aufgabe 2
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme für
Lösung zu Aufgabe 3
Man rechnet wie folgt:
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Für
Lösung zu Aufgabe 4
Zunächst berechnet man das Integral in Abhängigkeit des Parameters:
Aufgabe 5
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme mithilfe des GTR/CAS den Flächeninhalt, den diese Kurven mit der
Lösung zu Aufgabe 5
- Grenzen:
, . Wert des Integrals: - Grenzen:
, . Wert des Integrals: - Grenzen:
, . Wert des Integrals: - Grenzen:
, . Wert des Integrals:
Aufgabe 6
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die folgenden Integrale ohne Rechnung. Betrachte hierfür die Symmetrie der zu integrierenden Funktionen:
Lösung zu Aufgabe 6
- Der Integrand
(d.h. die zu integrierende Funktion) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da Da der orientierte Flächeninhalt zwischen den Grenzen -1 und 1 bestimmt werden soll, heben sich die Flächen oberhalb und unterhalb der-Achse auf. Damit gilt: - Wie im Teil (a) ist das Ergebnis auch hier
. Auch hier ist der Integrand wieder punktsymmetrisch zum Ursprung.
Aufgabe 7
- Schwierigkeitsgrad:Auf einer Fahrradrennstrecke wird die Geschwindigkeit eines Radlers gemessen. Für eine Runde, die er innerhalb von 2 Minuten absolviert, wird die Geschwindigkeit beschrieben durch die Funktion
Lösung zu Aufgabe 7
Da Geschwindigkeit die Änderungsrate des zurückgelegten Weges ist, erhält man den zurückgelegten Weg durch Integration. Die Strecke, die der Radfahrer während 2 Minuten zurücklegt, beträgt
Aufgabe 8
- Schwierigkeitsgrad:Das Wachstum einer Alge wird für die ersten 8 Monate näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:
- Wie groß ist die Alge nach 3 Monaten?
- Die Alge wächst auf dem Grund eines Sees in 5 Metern Tiefe.
Beim Brustschwimmen hängen die Zehen einer etwa
großen Person bis zu einem Meter unter der Oberfläche. Nach wie vielen Tagen könnte ein Schwimmer mit dem Fuß gegen die Alge stoßen?
Lösung zu Aufgabe 8
Da es sich bei der gegebenen Funktion um eine Wachstumsrate handelt, erhält man die jeweilige Größe der Alge durch Integration.
- Die Größe der Alge beträgt nach 3 Monaten
Nach 3 Monaten hat die Alge also eine Höhe von ca.
. - Der gesuchte Zeitpunkt
berechnet sich aus: Nach circa 6,2 Monaten, genauer nach etwa 184 Tagen hat die Alge eine Höhe erreicht, sodass ein Schwimmer an sie stoßen kann.
Aufgabe 9
- Schwierigkeitsgrad:Schreibe zu allen drei Schaubildern jeweils die markierten Flächen als Integral der Funktionen
Lösung zu Aufgabe 9
- Der Flächeninhalt liegt unterhalb der
-Achse zwischen und . Damit gilt für den Flächeninhalt: - Der Flächeninhalt zwischen
und im Intervall beträgt: - Die schraffierte Fläche lässt sich in einen linken und einen rechten Teil aufteilen.
Der linke Teil wird von
und der Geraden begrenzt und erstreckt sich über das Intervall . Der Flächeninhalt des linken Teils beträgt: Für den rechten Teil gilt entsprechend:Also beträgt der gesamte Flächeninhalt:
Aufgabe 10
- Schwierigkeitsgrad:Gegeben ist die Funktion
Lösung zu Aufgabe 10
Anhand der Produktdarstellung von
Aufgabe 11
- Schwierigkeitsgrad:Berechne die Flächen, die die Graphen der folgenden Funktionen einschließen:
Lösung zu Aufgabe 11
- Berechne zunächst die Schnittpunkte
Es gilt für
: . Somit gilt für den Flächeninhalt : - Analog zu Aufgabenteil (a) gilt hier