Exponentialgleichungen

Erklärung

Typ 1: Alle Exponential-Terme haben den gleichen Exponenten, zum Beispiel:
Typ 2: Es treten verschiedene Exponenten auf, aber dafür keine Zahlen, zum Beispiel:
Typ 3: Es treten verschiedene Exponenten und auch Zahlen auf, zum Beispiel:

Bestimme die Lösungen der Gleichung

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Bestimme die Lösungen der Gleichung

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:
Schritt 2: Klammere die kleinste -Potenz aus und beachte dabei die Potenzgesetze:
Schritt 3: Wende den Satz vom Nullprodukt an:
Die Gleichung besitzt keine Lösung.
Schritt 4: Bestimme die Lösungsmenge der zweiten Gleichung:

Bestimme die Lösungen der Gleichung

Schritt 1: Bringe alles auf eine Seite:
Schritt 2: Substitution: Setze :
Schritt 3: Löse die entstandene Gleichung mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
Schritt 4: Rücksubstitution: Löse :
Es folgt also .

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen:

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Klammere den Faktor aus und beachte dabei die Potenzgesetze. Es gilt:
Also ist .
Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Faktor . Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil gilt.
Somit ist .

- Schwierigkeitsgrad:

Löse folgende Gleichungen:

Man kann die Gleichung zunächst durch teilen und alles auf eine Seite bringen:
Man substituiert und löst die entstehende Gleichung mit der --Formel / Mitternachtsformel:
Rücksubstitution liefert als einzige Lösung. Somit ist .
Zu Beginn wird die gesamte Gleichung mit durchmultipliziert. Das verändert die Lösungsmenge nicht, weil gilt.
Nun kann man weiter nach Rezept rechnen und die Lösungsmenge ist gegeben durch .
Man rechnet wie in Aufgabenteil (b) und erhält .
Man substituiert . Die enstehende Gleichung wird mit der --Formel / Mitternachtsformel gelöst:
Nun führt man noch eine Rücksubstitution durch:
Die Lösungsmenge ist dann gegeben durch .