Erklärung
Bestimmung von Funktionsgleichungen
In Steckbriefaufgaben wird die Gleichung einer unbekannten Funktion gesucht. Die Eigenschaften des Graphen der Funktion (Position der Hoch-, Tief-, Wendepunkte, Nullstellen, ...) sind durch die Aufgabenstellung gegeben.
Wir beschäftigen uns im Folgenden damit, wie du die Gleichung einer ganzrationalen Funktion anhand vorgegebener Eigenschaften findest.
Bestimme eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph
- Schritt 1: Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung 3. Grades und ihre Ableitungen auf:
- Schritt 2: Schreibe alle Informationen in Formelschreibweise.
Achtung: Manche Informationen ergeben zwei Gleichungen.:
- Schritt 3: Setze die Gleichungen in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
- Schritt 4: Löse das entstehende LGS:
Steckbriefaufgaben begegnen dir meist in Form von Textaufgaben. Anhand der Aufgabenstellung gilt es nun herauszulesen, welcher Funktionstyp (ganzrationale Funktion, Exponentialfunktion, ...) gesucht ist.
Wir betrachten ein weiteres Beispiel:
- Schritt 1: Schreibe die Bedingungen als Gleichungen:
- Schritt 2: Löse die Gleichungen
Die gesuchte Funktion lautet
.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die
Lösung zu Aufgabe 1
Ganzrationale Funktion dritten Grades und Ableitung:
Gleichungen aufstellen:
- berührt die
-Achse im Ursprung und . - Punkt
. - Tangente in
parallel zu .
Gleichungssystem aufstellen:
Aufgabe 2
- Schwierigkeitsgrad:Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, deren Graph den Terrassenpunkt / Sattelpunkt
Lösung zu Aufgabe 2
Anforderungen an die Funktionsgleichung
Da der Graph der ganzrationalen Funktionen
Gleichungen aufstellen:
- Punkt
. ist ein Sattelpunkt und .
Funktionsgleichung aufstellen:
Da drei Bedingungen an
Dies führt auf das folgende LGS:
Ergebnis:
Die gesuchte Funktion lautet also:
Aufgabe 3
- Schwierigkeitsgrad:Das untenstehende Schaubild ist der Graph
Lösung zu Aufgabe 3
Bedingungen ablesen:
Die Bedingungen müssen hier am Graphen abgelesen werden.
- Man sieht, dass gilt:
. - Bei
ist eine waagrechte Asymptote.
Gleichungen aufstellen:
Funktionsterm
Die gesuchte Funktion lautet also:
Aufgabe 4
- Schwierigkeitsgrad:Finde eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Ursprung verläuft, einen Extrempunkt
Lösung zu Aufgabe 4
Ganzrationale Funktion dritten Grades und alle nötigen Ableitungen:
In der Aufgabe sind vier Bedingungen gegeben:
- Nullstelle bei
. - Lokaler Extrempunkt
und . - Wendepunkt bei
.
Gleichungssystem aufstellen:
Nach Auflösung des LGS erhält man:
Die gesuchte Funktion lautet also
Aufgabe 5
- Schwierigkeitsgrad:Der Graph der Funktion
Lösung zu Aufgabe 5
Gleichungen aufstellen:
- Punkt
- Funktion berührt die Gerade
im Punkt .
Damit erhält man die Gleichungen:
Gleichungen lösen:
Löst man die erste Gleichung nach
Die gesuchte Funktion lautet also:
Aufgabe 6
- Schwierigkeitsgrad:In den untenstehenden Schaubildern kann man die Graphen der Funktionen
- Ordne die Funktionen
und den passenden Schaubildern zu. Begründe Deine Zuordnung. - Bestimme die Werte von
und .
Lösung zu Aufgabe 6
- Der Graph der Funktion
ist im rechten Schaubild dargestellt, der Graph der Funktion im linken Schaubild. Begründung: Man erkennt, dass das linke Schaubild für beschränkt ist. Die Funktionswerte sind wegen für nicht beschränkt. Also muss der Graph von im rechten Schaubild abgebildet sein. 1.Betrachte zunächst die Funktion : Am Schaubild liest man die beiden Asymptoten ab: Aufgrund der senkrechten Asymptote mussgelten und aufgrund der waagrechten Asymptote muss gelten.
Betrachte nun die Funktion: Man erkennt, dass der Graph von durch den Punkt geht. Weiter hat der Graph von eine waagrechte Asymptote bei . Wegen für folgt . Wegen folgt schließlich . Die gesuchten Funktionsterme lauten: