Steckbriefaufgaben — Funktionen

Erklärung

Bestimmung von Funktionsgleichungen

In Steckbriefaufgaben wird die Gleichung einer unbekannten Funktion gesucht. Die Eigenschaften des Graphen der Funktion (Position der Hoch-, Tief-, Wendepunkte, Nullstellen, ...) sind durch die Aufgabenstellung gegeben.

Wir beschäftigen uns im Folgenden damit, wie du die Gleichung einer ganzrationalen Funktion anhand vorgegebener Eigenschaften findest.

Eine Standard-Aufgabenstellung:
Bestimme eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph

am Ursprung einen Extrempunkt und einen Wendepunkt in

hat.

Schritt 1: Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung 3. Grades und ihre Ableitungen auf:
Schritt 2: Schreibe alle Informationen in Formelschreibweise. Achtung: Manche Informationen ergeben zwei Gleichungen.:
Schritt 3: Setze die Gleichungen in die allgemeine Funktionsgleichung ein:
Schritt 4: Löse das entstehende LGS:

Die gesuchte Funktion lautet damit

Steckbriefaufgaben begegnen dir meist in Form von Textaufgaben. Anhand der Aufgabenstellung gilt es nun herauszulesen, welcher Funktionstyp (ganzrationale Funktion, Exponentialfunktion, ...) gesucht ist.

Wir betrachten ein weiteres Beispiel:

Aufgabe: Ein radioaktiver Zerfallsvorgang von 100 Gramm eines Isotops wird beschrieben durch die Funktion

in Jahren seit Beobachtungsbeginn,

in Gramm. Die Halbwertszeit des Isotops beträgt 10 Jahre. Bestimme

und

Schritt 1: Schreibe die Bedingungen als Gleichungen:
Schritt 2: Löse die Gleichungen
Die gesuchte Funktion lautet .

Tipp zu Steckbriefaufgaben: Oft muss man die Bedingungen statt aus einem Text aus einer Skizze ablesen.

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Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die -Achse im Ursprung. Die Tangente im Punkt verläuft parallel zur Geraden . Finde eine Funktionsgleichung der gesuchten Funktion.

Lösung zu Aufgabe 1

Ganzrationale Funktion dritten Grades und Ableitung:

Gleichungen aufstellen:

berührt die -Achse im Ursprung und .
Punkt .
Tangente in parallel zu .

Gleichungssystem aufstellen:

Lösen des LGS: Als Lösung des LGS erhält man:

Funktionsterm Die gesuchte Funktion lautet:

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Bestimme die Gleichung einer ganzrationalen Funktion, deren Graph den Terrassenpunkt / Sattelpunkt besitzt und punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Die Funktion soll einen möglichst kleinen Grad besitzen.

Lösung zu Aufgabe 2

Anforderungen an die Funktionsgleichung
Da der Graph der ganzrationalen Funktionen punktsymmetrisch zum Ursprung sein soll, hat nur ungerade Exponenten. Um den Grad zu bestimmen, zählt man zunächst die gestellten Bedingungen.
Gleichungen aufstellen:

Punkt .
ist ein Sattelpunkt und .

Funktionsgleichung aufstellen:
Da drei Bedingungen an gestellt werden, benötigt man drei Freiheitsgrade. Somit ist eine Funktion vom Grad der passende Ansatz:

Durch Einsetzen der Bedingungen erhält man:

Gleichungssystem aufstellen:
Dies führt auf das folgende LGS:

Gleichungssystem lösen:
Ergebnis:

Funktionsterm
Die gesuchte Funktion lautet also:

Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Das untenstehende Schaubild ist der Graph (samt Asymptoten) einer Funktion der Bauart

Bestimme die Werte der Parameter

und

Lösung zu Aufgabe 3

Bedingungen ablesen:
Die Bedingungen müssen hier am Graphen abgelesen werden.

Man sieht, dass gilt: .
Bei ist eine waagrechte Asymptote.

Gleichungen aufstellen:

Betrachtet man nur den Bruchterm der Funktion, so gilt dort

. Also erkennt man, dass unabhängig von

gilt:

Somit liegt die waagrechte Asymptote bei

. Man folgert daraus, dass

und somit, dass

ist.

Funktionsterm
Die gesuchte Funktion lautet also:

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Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Finde eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch den Ursprung verläuft, einen Extrempunkt hat, und bei eine Wendestelle besitzt.

Lösung zu Aufgabe 4

Ganzrationale Funktion dritten Grades und alle nötigen Ableitungen:

Gleichungen aufstellen
In der Aufgabe sind vier Bedingungen gegeben:

Nullstelle bei .
Lokaler Extrempunkt und .
Wendepunkt bei .

Gleichungssystem aufstellen:

Gleichungssystem lösen:
Nach Auflösung des LGS erhält man:

Funktionsterm
Die gesuchte Funktion lautet also

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Der Graph der Funktion mit berührt die Gerade im Punkt . Bestimme den Wert der Paramter und .

Lösung zu Aufgabe 5

Gleichungen aufstellen:

Punkt
Funktion berührt die Gerade im Punkt .

Damit erhält man die Gleichungen:

Gleichungen lösen:
Löst man die erste Gleichung nach auf, erhält man:

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:

Den Wert von

eingesetzt in die erste Gleichung liefert:

Funktionsterm
Die gesuchte Funktion lautet also:

Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

In den untenstehenden Schaubildern kann man die Graphen der Funktionen und mitsamt ihrer Asymptoten sehen. Die Funktionen sind von der Form

Ordne die Funktionen und den passenden Schaubildern zu. Begründe Deine Zuordnung.
Bestimme die Werte von und .

Lösung zu Aufgabe 6

Der Graph der Funktion ist im rechten Schaubild dargestellt, der Graph der Funktion im linken Schaubild. Begründung: Man erkennt, dass das linke Schaubild für beschränkt ist. Die Funktionswerte sind wegen für nicht beschränkt. Also muss der Graph von im rechten Schaubild abgebildet sein. 1.Betrachte zunächst die Funktion : Am Schaubild liest man die beiden Asymptoten ab:
Aufgrund der senkrechten Asymptote muss gelten und aufgrund der waagrechten Asymptote muss gelten.

Betrachte nun die Funktion : Man erkennt, dass der Graph von durch den Punkt geht. Weiter hat der Graph von eine waagrechte Asymptote bei . Wegen für folgt . Wegen folgt schließlich . Die gesuchten Funktionsterme lauten: