Erklärung
Einleitung
Um mathematische Aussagen mithilfe von Axiomen (Grundsätzen), Regeln und durch nachvollziehbare Schlussfolgerungen beweisen zu können, bedarf es bestimmter mathematischer Beweistechniken. Dazu gehören z. B.
In diesem Artikel lernst du die Methode der vollständigen Induktion kennen und anwenden.
- Den Induktionsanfang: Hier wird die kleinste Zahl, für die die Aussage
gezeigt werden soll, eingesetzt und überprüft, ob die Aussage stimmt. - Den Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage
ist wahr, dann wird in diesem Teil des Beweises die Gültigkeit der Aussage gezeigt.
Der erste umgeworfene Dominostein symbolisiert den Induktionsanfang. Die Eigenschaft, dass Stein
Nur beide Umstände zusammen lassen die komplette Kette umfallen.
-
Induktionsanfang: Zeige die Aussage für
. Es gilt Dies ist aber genau die Aussage. Der Induktionsanfang ist also korrekt. -
Induktionsschritt: Die Induktionsannahme lautet hier, dass die Aussage
stimmt.
Zu zeigen ist in diesem Schritt, dass dann auch die Aussagestimmt. Der Induktionsschritt stimmt damit auch. - Da sowohl der Induktionsanfang für
als auch der Induktionsschritt korrekt sind, ist die Aussage wahr für alle .
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die Zahl
Lösung zu Aufgabe 1
Die Aussage
-
Induktionsanfang:
ist gerade. -
Induktionsschritt: Angenommen
ist korrekt, dann zeige, dass auch korrekt ist. Nach Voraussetzung istkorrekt, das heißt: ist gerade. Da
auch immer gerade ist und die Summe zweier gerader Zahlen immer noch gerade ist, stimmt also auch die Aussage .