Erklärung
Einleitung
Ökonomische Fragestellungen beziehen sich auf zwei gegebene Funktionen K(x) und E(x), die
Ihr Definitionsbereich ist eine Teilmenge der nicht-negativen reellen Zahlen, wobei x für eine Mengeneinheit steht und E(x) und K(x) die Einheit GE (Geldeinheit) besitzen. Aus beiden leitet sich die Gewinn-\Verlustfunktion ab:
Wenn G(x) > 0 für eine Mengeneinheit x ist, spricht man von Gewinn. Wenn G(x) < 0 für eine Mengeneinheit x ist, spricht man von Verlust.
In diesem Artikel lernst du die typischen Fragestellungen und ihre Antwortmöglichkeiten kennen.
Aufstellen von Erlös- und Kostenfunktion
Gesucht sind die Erlös-und Kostenfunktion. Der ErlösGewinnfunktion
Gesucht ist die GewinnfunktionGewinnschwelle
Zeige, dass die Bäckerei bei 10 verkauften Broten pro Tag kostenneutral arbeitet. Dies ist genau dann der Fall, wennGewinnzone
Bei welchen Stückzahlen- Anzahl Brote, so dass kostenneutral gearbeitet wird.
Bestimme alle Nullstellen von
. Beachte dabei, dass eine Nullstelle ( ) schon bekannt ist. Um die Polynomdivision zu vereinfachen, kann man mit 400 durchmultiplizieren, die Nullstellen ändern sich dabei nicht. Die- -Formel / Mitternachtsformel liefert folgende weitere Nullstellen , . - Gewinnzone ermitteln.
Setze Werte zwischen den Nullstellen in
ein und überprüfe das Vorzeichen. Diese Werte können nun dazu verwendet werden, um die Intervalle, in denenpositiv ist, zu ermitteln.
Maximaler Gewinn
Gesucht sind diejenigen StückzahlenKurzfristige Preisuntergrenze (KPU)
Wie gering kann der Preis für ein Brot gewählt werden, damit unabhängig von der Anzahl der verkauften Brote die variablen Kosten der Bäckerei gerade noch erwirtschaftet werden?- Bestimmung der variablen Kosten.
Die variablen Kosten
sind in diesem Fall gegeben durch die Funktion . - Bestimmung der variablen Stückkosten.
Stelle eine Gleichung für die variablen Stückkosten
auf, indem du die variablen Kosten durch die Anzahl der verkauften Brote teilst. - Bestimmung des Extremums.
Leite zunächst die Funktion
ab und bestimme deren Nullstelle. - Bestimmung der KPU.
Bestimme den Funktionswert von
an der Stelle . Es gilt: Kurzfristig kann die Bäckerei den Preis für ein Brot also auf 0,50 € senken. Dann werden allerdings nur die variablen Kosten gedeckt. Die Fixkosten laufen ungedeckt weiter.
Maximaler Absatz
An welchem Tag ist der Absatz maximal? Wie groß ist er? Bestimme zunächst die erste Ableitung der FunktionSchnellste Änderung des Absatzes
An welchem Tag nimmt der Absatz am stärksten ab? Bestimme die zweite Ableitung der FunktionGesamtwert aus Änderungsrate bestimmen
Wie groß ist der Gesamtabsatz in den ersten- Bestimmung des Funktionswertes
Setze
ein. - Ermittlung des Gewinns
Pro Brot werden
€ Gewinn erwirtschaftet. Der Gesamtgewinn ist daher Die Bäckerei kann also in den ersten 30 Tagen insgesamt 4004 Brote verkaufen. Damit ist ein Gewinn von 12.012 € möglich.
Aufgaben
Aufgabe 1
- Schwierigkeitsgrad:Ein Handyhersteller produziert Handys, die er für 100 € pro Stück verkaufen kann.
Seine Produktionsstätte verursacht tägliche Kosten in Höhe von
- Stelle die Erlösfunktion
auf. - Die Kostenfunktion
ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Bestimme den Funktionsterm von . - Stelle die Gewinnfunktion
auf. - Zeige, dass der Hersteller bei einer täglich produzierten Stückzahl von
Stück kostenneutral arbeiten kann. Bei welchen Stückzahlen macht der Hersteller Gewinn? - Bei welcher Produktionsmenge wird der maximale Gewinn erzielt? Wie hoch ist dieser pro Tag?
- Da ein neues zPhone eines Konkurrenten veröffentlicht wurde, muss der Handyhersteller das Mobiltelefon zu einem günstigeren Preis abgeben. Was ist die kurzfristige Preisuntergrenze, so dass die variablen Kosten der Produktion gedeckt sind?
Lösung zu Aufgabe 1
-
Jedes Handy wird für 100 € verkauft, daher ist ein Term für die Erlösfunktion
gegeben durch -
Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist
Es gilt:Folgende Informationen sind gegeben:
Dies führt auf das folgende lineare Gleichungssystem:
Man erhält folgende Lösung des linearen Gleichungssystems:
Somit ist die Kostenfunktiongegeben durch -
Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten. Es gilt also:
-
Um zu zeigen, dass der Hersteller bei
kostenneutral arbeitet, setzt man in die Gewinnfunktion ein. Es folgt Somit erzielt der Hersteller beigerade keinen Gewinn. Um die Gewinnzone zu bestimmen, muss überprüft werden, in welchen Bereichen die Funktionswerte von positiv sind. Dazu benötigt man die übrigen Nullstellen. Damit die Rechnung etwas leichter fällt, kann man die Gewinnfunktion mit multiplizieren. Damit sind die Koeffizienten frei von Brüchen, die Nullstellen verändern sich jedoch nicht. Die Nullstellevon ist schon bekannt. Daher kann man eine Polynomdivision durchführen Man berechnet weiter die Lösungen der Gleichung:mit der pq-Formel bzw. Mitternachtsformel. Es gilt:Da zum Beispiel fürder Erlös größer ist als die Kosten ist, es gilt , liegt die Gewinnzone zwischen und hergestellten Handys pro Tag. -
Um den maximalen Gewinn zu berechnen, untersucht man die Gewinnfunktion auf ein lokales Maximum. Dafür werden zunächst die ersten beiden Ableitungen gebildet.
Mit der pq-Formel bzw. Mitternachtsformel erhält man die positive Nullstelle vonals . Setzt man dies in die zweite Ableitung ein, so erhält man Somit liegt beiein lokales Maximum vor. Schließlich gilt Der maximale tägliche Gewinn von 5940,16 € wird bei einer täglichen Produktionsmenge von 252 Handys erzielt. -
Um die kurzfristige Preisuntergrenze (KPU) zu bestimmen, werden zunächst die variablen Stückkosten aufgestellt. Der variable Anteil
der Gesamtkosten ist gegeben durch: Teilt man diesen durchso erhält man die variablen Stückkosten : Von dieser Funktion wird nun das Minimum bestimmt. Dazu bildet man die ersten beiden Ableitungen von: Die Nullstelle vonliegt bei und es gilt . Die KPU beträgt 47,92 €, d.h. kurzfristig kann der Preis bis ca. 48 € gesenkt werden.