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Besondere Aufgabentypen

Extremwertaufgaben



Erklärung

Einleitung

Zu den Anwendungen der Differenzalrechnung gehören u.a.

  • Optimierungsprobleme und
  • Kurvendiskussion.
Eine Extremwertaufgabe ist ein Aufgabentyp, bei der zu einer Problemstellung die optimale, d.h. maximale oder minimale Lösung gesucht wird. In diesem Abschnitt lernst du ein Rezept kennen, wie du eine Extremwertaufgabe formulierst und sie löst.

Gegeben ist die Funktion mit . Sei ein Punkt auf dem Graphen von mit . Der Ursprung , der Punkt und der Punkt begrenzen ein Dreieck. Welchen Flächeninhalt kann dieses Dreieck maximal haben?
  • Schritt 1: Fertige zunächst eine Skizze an, die den Sachverhalt verdeutlicht. Hierzu werden der Graph von und die Dreiecksseiten eingezeichnet.
  • Schritt 2: Finde genau eine Variable, die das gesamte Problem beschreibt. In diesem Fall ist das die Variable . Denn wenn bekannt ist, können auch und bestimmt werden.
  • Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich von . Es gilt:
  • Bestimmung der Zielfunktion Stelle einen Funktionsterm für die zu maximierende Größe auf. Diese Funktion nennt man auch Zielfunktion. In diesem Fall entspricht die Zielfunktion dem Flächeninhalt des eingezeichneten Dreiecks. Es gilt:
  • Schritt 3: Gesucht sind die lokalen Extrempunkte des Graphen der Funktion . Hierzu wird die Ableitung der Funktion bestimmt und deren Nullstellen berechnet:
    Bestimme die Funktionswerte von an den soeben berechneten Extremstellen und den Rändern des Definitionsbereichs:
    Der Flächeninhalt ist höchstens . In diesem Fall ist .
    Die Ränder des Definitionsbereichs müssen deshalb untersucht werden, weil die Funktionswerte der Funktion am Rand größer sein könnten als am lokalen Extremum. Dies kann auch passieren, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle hat.

Aufgaben

Aufgabe 1

- Schwierigkeitsgrad:

Sei ein Rechteck, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen sind. Eine Ecke von liegt auf dem Ursprung, die gegenüberliegende Ecke liegt auf dem Graphen der Funktion mit .

Für die -Koordinate von gilt: .

Welchen Flächeninhalt kann maximal haben?

Lösung zu Aufgabe 1

Skizze

Eine Skizze des Problems sieht wie folgt aus.

Variable

Das Problem wird vollständig durch den -Wert von beschrieben.

Definitionsbereich

Laut Aufgabenstellung gilt:

Zielfunktion

Eine Gleichung der Zielfunktion erhält man aus der Flächeninhaltsformel für Rechtecke. Eine Rechtecksseite hat die Länge , die andere Seite hat die Länge . Somit ist eine Gleichung der Zielfunktion gegeben durch:

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel erhält man:

Nun werden die Nullstellen der Ableitung bestimmt. Es gilt:
Eine Randwertuntersuchung und der Vergleich mit der soeben berechneten Stelle liefert:
Die Fläche beträgt maximal .

Aufgabe 2

- Schwierigkeitsgrad:

Gegeben ist die Funktion durch

Im Punkt befindet sich ein Kreis , der die Koordinatenachsen berührt. Auf dem Graphen von befindet sich genau ein Punkt , der den kürzesten Abstand zu hat.

Wie sind seine Koordinaten?

Lösung zu Aufgabe 2

Zunächst überlegt man sich, dass der Kreis den Radius haben muss. Da jeder Punkt auf den gleichen Abstand zu hat, ist der Punkt auch der Punkt auf dem Graphen von , der den kürzesten Abstand zu hat. Sei nun beliebig. Ein allgemeiner Punkt auf dem Graphen von hat die Koordinaten

Der Abstand von zu ist gegeben durch den Ausdruck
Der Graph der Funktion kann mit Hilfe des Taschenrechners im interessanten Bereich von gezeichnet werden. Die Skizze sieht dann wie folgt aus.
Der GTR liefert für den -Wert des Minimums: . Eingesetzt in die Funktion liefert dies den -Wert von .

Der gesuchte Punkt auf dem Graphen von hat also die Koordinaten .

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Aufgabe 3

- Schwierigkeitsgrad:

Für wird die Schar der in definierten Funktionen mit

betrachtet.

Für welches hat der Tiefpunkt des Graphen von den niedrigsten Funktionswert?

Lösung zu Aufgabe 3

Skizze

Eine Skizze ist hier nicht notwendig und wenig hilfreich.

Variable

Die untersuchte Variable ist der Parameter der Funktionenschar.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich von kann der Aufgabenstellung entnommen werden. Es gilt .

Zielfunktion

Der Funktionswert des Tiefpunktes soll minimal werden. Zunächst müssen also die Koordinaten des Tiefpunktes von bestimmt werden. Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Nun kann eine Gleichung der Zielfunktion aufgestellt werden:

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Also befindet sich an der Stelle ein Minimum. Die Randbetrachtung entfällt hier, da gilt. Somit hat für der Tiefpunkt der Funktionenschar den kleinsten Funktionswert. Dieser ist gegeben durch:

Aufgabe 4

- Schwierigkeitsgrad:

Mit einem Zaun von Metern Länge soll eine rechteckige Weide mit möglichst großer Fläche abgespannt werden. Glücklicherweise ist die Weide an einer Seite schon von einem (gerade verlaufenden) Fluss begrenzt. Wie groß kann die Fläche der Weide werden?

Lösung zu Aufgabe 4

Skizze

Eine Skizze ist hier hilfreich, aber nicht unbedingt notwendig.

Variable

Die Variable, die das Problem beschreibt, wird im Folgenden genannt und bezeichnet die Länge der kürzeren Rechtsecksseite. Die Länge der verbleibenden Seite wird genannt.

Definitionsbereich

Es gilt: , denn es gibt zwei kurze Rechteckseiten und insgesamt stehen Meter Zaun zur Verfügung. Die Grenzfälle sind allerdings uninteressant: Bei entsteht kein Rechteck, bei auch nicht (denn dann ist ), sondern jeweils nur eine Linie.

Zielfunktion

Die Zielfunktion erhält man in drei Schritten. Der Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seiten und ist gegeben durch:

Die Zaunlänge beträgt , wobei eine Seite der Fläche durch den Fluss begrenzt werden kann. Es gilt also:
Somit kann die Funktionsgleichung der Zielfunktion aufgestellt werden:

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Es gilt:

Es gilt:
Wie oben schon erwähnt sind die Definitionsränder in diesem Kontext keine sinnvollen Lösungen. Die Fläche ist maximal, wenn die kurzen Seiten des Rechtecks und die lange Seite lang sind. Die Fläche beträgt dann .

Aufgabe 5

- Schwierigkeitsgrad:

Auf dem Intervall sind folgende beide Funktionen und gegeben:

An welcher Stelle haben die beiden Funktionswerte den größten Abstand?

Lösung zu Aufgabe 5

Skizze

Eine Skizze kann hier hilfreich sein, ist aber nicht unbedingt notwendig.

Zielfunktion

Der Abstand der beiden Funktionswerte wird beschrieben durch die Funktion mit:

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Es gilt:

Eine Untersuchung der Funktionswerte an der soeben berechneten Stelle und der Randwerte liefert :
An der Stelle haben die Funktionswerte der Funktionen und den größten Abstand. Dieser beträgt . Beachte: Falls die Funktion betrachtet wurde, müssen zum Schluss noch Beträge genommen werden, da nach dem Abstand gefragt wurde. Für diesen Fall gilt hier gerade .

Aufgabe 6

- Schwierigkeitsgrad:

Eine Firma stellt Konservendosen für Dosensuppen her, die jeweils Inhalt fassen sollen. Die Materialkosten sollen möglichst gering gehalten werden, daher sind die Maße gesucht, bei denen die Dosen die geringste Oberfläche haben. Wie lauten diese Maße?

Lösung zu Aufgabe 6

Variable

Oberfläche und Volumen eines Zylinders sind abhängig vom Radius und Höhe des Zylinders. Weil das Volumen des Zylinders vorgegeben ist, kann der Radius als Variable gewählt werden, die das Problem vollständig beschreibt.

Definitionsbereich

Für den Radius des Zylinders gilt .

Zielfunktion

Für das Volumen eines Zylinders mit Radius und Höhe gilt die Formel

Wegen folgt damit
Für den Oberflächeninhalt der Dose gilt:
Diese beiden Formeln kombiniert, erhält man die Zielfunktion :

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Somit hat die Funktion an der Stelle ein Minimum Als Definitionsrand ist nur der rechte Rand ( interessant, denn für entsteht gar keine Dose. Allerdings gilt:
Die Dosen haben also für den geringsten Oberflächeninhalt.
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Aufgabe 7

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Computer zeichnet auf, mit welcher Durchflussgeschwindigkeit das Wasser eines Stausees durch eine Staudammöffnung fließt. Für die Monate Januar bis Dezember wird die Durchflussgeschwindigkeit beschrieben durch die Funktion mit

mit in Monaten seit dem 1. Januar und in . In welchem Zeitabschnitt von Monaten ist das meiste Wasser durch die Staudammöffnung geflossen?

Lösung zu Aufgabe 7

Skizze

Eine Skizze ist hier nicht notwendig.

Variable

Die gewählte Variable wird hier genannt. Sie soll den Anfang des betrachteten zweimonatigen Zeitabschnitts beschreiben.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich der Variable ist gegeben durch:

Die Funktion ist definiert für und die Variable definiert einen zweimonatigen Zeitabschnitt.

Zielfunktion

Die Funktion beschreibt die Durchflussgeschwindigkeit an der Staudammöffnung. Die im Zeitraum von bis in den Stausee geflossene Wassermenge ist gegeben durch das Integral:

Die Dauer des Zeitraums beträgt Monate, daher gilt für die Integralgrenzen:
Nun kann eine Gleichung der Zielfunktion bestimmt werden:
Dabei bezeichnet eine Stammfunktion von . Diese Funktion beschreibt die Menge an Wasser, die in zwei Monaten ab dem Zeitpunkt durch die Staudammöffnung geflossen ist.

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Eine Untersuchung der Funktionswerte an der soeben berechneten Stelle und der Randwerte liefert :
Damit beginnt am 1. Juni der Zweimonatszeitraum, in welchem das meiste Wasser durch die Staudammöffnung fließt.

Aufgabe 8

- Schwierigkeitsgrad:

Ein Reststück Pappe hat die Form einer Normalparabel. Vom Scheitelpunkt bis zur Kante sind es . Aus dem Reststück soll ein rechteckiges Stück mit möglichst großer Fläche geschnitten werden. Wie lauten die Maße der zu schneidenden Fläche?

Lösung zu Aufgabe 8

Der Rand der Pappe kann beschrieben werden durch die Funktion mit .

Skizze

Im folgenden Schaubild sind der Graph der Funktion und das einbeschriebene Rechteck dargestellt.

An der Zeichnung lässt sich erkennen, dass für die Koordinaten des rechteckigen Pappstückes gilt:

Variable

Die Variable beschreibt das Problem vollständig.

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich von wird durch die Maße der Pappe vorgegeben:

Bei dieser Aufgabe sind die Definitionsränder nicht interessant, da sich an diesen ein Rechteck mit Seitenlänge , also eine Linie ergibt. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist gegeben durch:
Aus den Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks lassen sich die Seitenlängen ablesen:
Die Zielfunktion der Rechtecksfläche ist dann gegeben durch

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Aufgrund der Symmetrie des Graphen genügt es, nur die positive Lösung weiterzuverfolgen:
Die Pappe hat für die Punkte
den maximalen Flächeninhalt von und die Maße lauten hierbei auf .
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Aufgabe 9

- Schwierigkeitsgrad:

Aus einem quadratischen Stück Karton von Seitenlänge soll eine nach oben offene Schachtel gebastelt werden. Dafür werden an den Ecken quadratische Stücke ausgeschnitten und die nun überstehenden Randrechtecke um nach oben geknickt. Wie groß müssen die an den Ecken auszuschneidenden Quadrate sein, damit die Schachtel maximales Volumen hat?

Lösung zu Aufgabe 9

Skizze

Variable

Die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate wird mit bezeichnet. Diese Variable beschreibt das Problem vollständig.

Definitionsbereich

Es gilt: . Die Randwerte sind im Sachzusammenhang uninteressant, weil bei gar keine Quadrate herausgeschnitten werden und somit keine Schachtel entstehen kann. Für wird das ganze vorhandene Quadrat in gleichgroße Quadrate geschnitten, auch hier entsteht keine Schachtel. Das Volumen der Schachtel mit gegebener Kantenlänge und entstehender quadratischer Grundfläche ist gegeben durch:

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche erhält man, wenn man von der ursprünglichen Seitenlänge von an beiden Seiten die Länge der Seitenlänge der herauszuschneidenden Quadrate abzieht:
Eine Gleichung der Zielfunktion ist also gegeben durch:

Extremwertbestimmung

Hierzu werden zunächst die Ableitung der Funktion und deren Nullstellen bestimmt. Anschließend wird untersucht, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt.

Die zweite Lösung kann kein Maximum sein - bei Kantenlänge kann man keine Quadrate mit Kantenlänge herausschneiden, auch der andere Definitionsrand ist keine plausible Lösung in diesem Kontext, siehe oben. Somit erhält die Schachtel ein maximales Volumen von , wenn man an den Ecken Quadrate mit Kantenlänge herausschneidet.
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 02. 2022 - 12:25:29 Uhr