Abi Bayern Probeabitur Stochastik B1

Aufgabe

Aufgabe 1

Von einer Gruppe von Personen möchten ihren Sommerurlaub lieber im Ausland verbringen. Personen bevorzugen einen Urlaub in Deutschland. Für einen Zeitungsartikel werden Personen aus dieser Gruppe zufällig ausgewählt.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden nur Personen ausgewählt, die ihren Urlaub im Ausland verbringen möchten?
   (2 BE)
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangen genau Personen in die Stichprobe, die ihren Urlaub in Deutschland verbringen wollen? Erläutern Sie Ihren Lösungsweg.
   (4 BE)

Aufgabe 2

Im vergangenen Jahr ließen Umfrageergebnisse darauf schließen, dass der Deutschen für ihren nächsten Urlaub lieber ins Ausland reisen würden.

1. Wie groß war im vergangenen Jahr die Wahrscheinlichkeit, dass von befragten Personen mehr als und weniger als für ihren nächsten Urlaub ins Ausland reisen?
   (2 BE)
2. Wie viele Personen mussten im vergangenen Jahr mindestens befragt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens eine Person zu befragen, die in Deutschland Urlaub machen möchte.
   (3 BE)

Nach vielen Medienberichten über zu hohe Preise und schlechten Service in der deutschen Tourismusbranche wird befürchtet, dass der Anteil der Personen, die Auslandsreisen bevorzugen, gestiegen ist. Im Auftrag der deutschen Tourismusbranche wird daher eine erneute Umfrage durchgeführt.

3. Entwickeln Sie einen rechtsseitigen Hypothesentest für einen Stichprobenumfang von Personen, mit dem die Vermutung der Tourismusbranche bei einem Signifikanzniveau von untersucht werden kann.
   (5 BE)
4. Erläutern Sie an diesem Beispiel die möglichen Fehler bei der Entscheidung und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn tatsächlich von Personen Auslandsreisen bevorzugen.
   (4 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Von Personen möchten ihren Sommerurlaub im Ausland verbringen. Von den Personen werden zufällig ausgewählt. Diese Auswahl entspricht dem "Ziehen ohne Zurücklegen" denn eine bereits ausgewählte Person kann nicht noch einmal ausgewählt werden. Die Wahrscheinlichkeit , dass alle Personen ins Ausland wollen, kann folgendermaßen bestimmt werden.

   Die Wahrscheinlichkeit liegt also bei ungefähr .

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau Personen, die ihren Urlaub in Deutschland verbringen möchten, in die Stichprobe gelangen, lässt sich über die hypergeometrische Verteilung (siehe Merkhilfe) berechnen. Folgende Bezeichnungen werden eingeführt:

   Sei die Zufallsgröße die Anzahl der Personen, die in Deutschland bleiben möchten, dann gilt:
   Damit liegt die Wahrscheinlichkeit, dass von fünf befragten Personen genau zwei angeben, dass sie in Deutschland Urlaub machen möchten, bei ungefähr .

   Die Formel setzt sich wie folgt zusammen: die Anzahl der Möglichkeiten, fünf Personen zufällig aus Personen auszuwählen, beträgt und steht dabei im Nenner. Die Anzahl der Möglichkeiten drei Personen auszuwählen, die ins Ausland wollen, ist gegeben durch . Diese wird mit der Anzahl der Möglichkeiten zwei Personen auszuwählen, die in Deutschland bleiben wollen, also , nach dem Zählprinzip multipliziert. Das Ergebnis steht im Zähler.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Kriterien für ein Bernoulli-Experiment sind erfüllt, denn jede befragte Person möchte entweder in Deutschland Urlaub machen oder nicht. Außerdem war für jede Person die Wahrscheinlichkeit, dass sie ins Ausland verreisen möchte, gleich groß und zwar .
   Damit kann die Wahrscheinlichkeit , dass im vergangenen Jahr unter befragten Personen mehr als und weniger als für ihren nächsten Urlaub ins Ausland reisten, wie folgt berechnet werden:

   Die Werte der Summen können im stochastischen Tafelwerk nachgeschlagen werden. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit betrug ungefähr .

2. Sei die Anzahl der befragten Personen, die in Deutschland Urlaub machen möchten. Dann gilt:

   Außerdem gilt bei befragten Personen:
   Es soll also gelten:
   Im vergangenen Jahr mussten also mindestens Personen befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens mindestens eine Person in Deutschland Urlaub machen wollte.

3. Die Befürchtung lautet: "Der Anteil der Bevölkerung, der Auslandsreisen bevorzugt, ist gestiegen" In der Nullhypothese steht das Gegenteil der Befürchtung. Die Aussage der Nullhypothese ist damit: "Höchstens der Personen bevorzugen Urlaub im Ausland". Es gilt also:

   Da es sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest zum Signifikanzniveau handelt, muss für die Bestimmung der Entscheidungsregel das kleinste gefunden werden, sodass die folgende Beziehung erfüllt wird:
   Nachschlagen im stochastischen Tafelwerk liefert . Gesucht wird die kleinste natürliche Zahl , die diese Ungleichung erfüllt, also wählt man . Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens Personen angeben, dass sie ihren nächsten Urlaub im Ausland verbringen möchten. Somit gilt für den Ablehnungsbereich sowie für den Annahmebereich der Nullhypothese:

4. Ein "Fehler 1. Art"liegt vor, wenn bei der Umfrage mindestens Personen angeben, dass sie ihren Urlaub im Ausland verbringen möchten, obwohl tatsächlich der Anteil bei höchstens liegt.

   Ein "Fehler 2. Art"liegt vor, wenn tatsächlich mehr als ins Ausland reisen möchten, bei der Befragung allerdings höchstens Personen angeben, dass sie ins Ausland reisen möchten.

   Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art berechnet man für und wie folgt:

   Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der tatsächliche Anteil beträgt, liegt bei .