Abi Bayern Probeabitur Stochastik A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Jana spielt jeden Sonntag Volleyball-Spiele.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ihr Team das erste Spiel gewinnt, liegt erfahrungsgemäß bei .
Gewinnt das Team ein Spiel, so erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das nächste Spiel zu gewinnen, um . Verliert das Team, so steigt die Wahrscheinlichkeit, auch das nächste Spiel zu verlieren, um .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Jana und ihr Team genau zwei der drei Spiele gewinnen.

Aufgabe 2

Betrachtet wird folgendes Experiment: Zunächst wird ein fairer Würfel geworfen. Ist die gewürfelte Augenzahl gerade, so wird eine Münze geworfen, andernfalls werden zwei Münzen geworfen.

1. Berechnen Sie die erwartete Anzahl der Münzwürfe, die "Wappen" anzeigen.
   (3 BE)
2. Die Zufallsgröße bezeichne den Gewinn in Euro, der durch die Anzahl der Münzwürfe mit dem Ergebnis "Wappen"festgelegt wird. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit es sich um ein faires Spiel handelt?
   (1 BE)
3. Das Experiment wird mal durchgeführt und das Ergebnis notiert. Handelt es sich hierbei um ein Bernoulli-Experiment?
   (1 BE)

Aufgabe 3

Für einen guten Zweck laufen Schüler die Distanzen und .
Formulieren Sie zu folgenden Ereignissen die Gegenereignisse in Worten.

• "In einer Gruppe von Personen läuft keine Schülerin ".
• "In einer Gruppe von Personen sind mindestens mit einer persönlichen Bestleistung ins Ziel gekommen."
  (2 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

Es werden für jedes Spielende folgende Ergebnisse definiert:

"Spiel gewonnen" \ "Spiel verloren"

Das Baumdiagramm sieht dabei bei einem dreistufigen Experiment wie folgt aus:

Lösung zu Aufgabe 2

1. Die Augenzahl des Würfels wird in "gerade" und "ungerade" unterteilt. Dabei sind beide Ausgänge gleich wahrscheinlich mit .

   Die Anzahl, wie oft "Wappen" erscheint, ist eine Zufallsgröße . Die Wahrscheinlichkeit Wappen mit zu werfen, ist gegeben durch:

   Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in folgender Tabelle abgebildet.

   Der Erwartungswert ist somit gegeben durch:

2. Damit das Spiel fair bleibt, muss der Einsatz gleich dem Erwartungswert des Gewinns sein. Somit muss gelten:

3. Nein, es handelt sich nicht um ein Bernoulli-Experiment. Ein solches besteht in der Wiederholung des gleichen Zufallsexperiments mit zwei alternativen Ausgängen. Dies ist hier nicht der Fall.

Lösung zu Aufgabe 3

Die Gegenereignisse lauten

• Gegenereignis zu : "In einer Gruppe von Personen läuft mindestens eine Schülerin 3km."
• Gegenereignis zu : "In einer Gruppe von Personen ist höchstens eine Person mit einer persönlichen Bestleistung ins Ziel gekommen, das heißt keine oder eine Person."