Abi Bayern Probeabitur Geometrie B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Vom Tower eines Flughafens aus werden zwei Flugzeuge beobachtet. Alle Längenangaben sind in Kilometern, alle Zeitangaben in Stunden angegeben. Das erste Flugzeug fliegt auf der Flugbahn mit

1. Zeigen Sie, dass sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge kreuzen und entscheiden Sie, ob es zu einem Zusammenstoß kommt, wenn die Beobachtung zum Zeitpunkt startet.
   (5 BE)
2. Berechnen Sie den Abstand, den die beiden Flugzeuge zum Zeitpunkt besitzen.
   (2 BE)
3. Bestimmen Sie den Zeitpunkt , zu dem sich die Flugzeuge auf gleicher Höhe befinden.
   (2 BE)

Aufgabe 2

Ebenen im können auf unterschiedliche Arten zueinander liegen. Zum Beispiel können drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt aufweisen (siehe Abbildung 1) oder eine gemeinsame Schnittgerade, genannt Trägergerade, beinhalten (siehe Abbildung 2).

1. Nennen Sie drei Beispiele, wie drei Ebenen im zueinander liegen können. Dabei sollen die Ebenen keine Punkte aufweisen, die in allen drei Ebenen liegen.

   (3 BE)
   Die drei Ebenen
   schneiden sich in einem Punkt.

2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten dieses Schnittpunktes.

   (5 BE)

Die Ebenenschar bildet ein sogenanntes Ebenenbüschel wie es in Abbildung 2 dargestellt ist.

3. Bestimmen Sie zwei Punkte, die in jeder Ebene des Ebenenbüschels enthalten sind und stellen Sie eine Gleichung der Trägergeraden auf.
   (3 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Schnittpunkt der Geraden

   Um den Schnittpunkt der beiden Geraden zu bestimmen, werden die Terme der beiden Geradengleichungen gleichgesetzt:
   Das zu lösende Gleichungssystem lautet somit:
   Aus der ersten Gleichung folgt direkt . Einsetzen von in und liefert jeweils . Das Gleichungssystem hat also eine eindeutige Lösung für und . Für den Schnittpunkt gilt:
   Somit schneiden sich die Flugbahnen im Punkt . Da aber und die Parameter jeweils die Stunden nach dem Start bei angeben, kommt es nicht zum Zusammenstoß.
2. Zunächst werden die Ortsvektoren zu den Punkten bzw. bestimmt, an denen sich die Flugzeuge bzw. zum angegebenen Zeitpunkt befinden. Diese Punkte erhält man, indem bzw. in die entsprechende Gleichung eingesetzt wird:
   
   Der Abstand der beiden Flugzeuge zueinander ist die Länge des Verbindungsvektors der beiden Punkte:
   Der gesuchte Abstand ist somit etwa .
3. Die Höhe, auf der sich die Flugzeuge befinden, wird durch die -Koordinate angegeben. Diese muss also gleichgesetzt werden. Da der Zeitpunkt gesucht ist, an dem beide Flugzeuge die gleiche Höhe haben, wird für beide Parameter gesetzt.
   Die Flugzeuge befinden sich somit eine halbe Stunde nach Beobachtungsbeginn auf gleicher Höhe.

Lösung zu Aufgabe 2

1. • Alle drei Ebenen können echt parallel zueinander sein.
   • Zwei der Ebenen sind identisch, die dritte dazu parallel.
   • Zwei der Ebenen sind echt parallel und die dritte hat mit jeder der beiden parallelen Ebenen eine Schnittgerade.
   • Die Ebenen schneiden sich paarweise in Geraden.

2. Den Schnittpunkt von drei Ebenen erhält man, indem man die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmt und anschließend den Schnittpunkt von dieser mit der dritten Ebene.

   Schnittgerade von und

   Zunächst schreibt man zwei Ebenengleichungen als Gleichungssystem:

   Dieses wird auf Stufenform gebracht:
   Es wird gewählt und die letzte Gleichung eingesetzt:
   Nun werden die Werte für und in die erste Gleichung einsetzt:
   Eine Gleichung der Schnittgerade ist damit gegeben durch:

   Schnittpunkt von und

   Dazu werden die Zeilen der eben aufgestellten Gerade in die Ebene eingesetzt und nach umgestellt:

   Den Ortsvektor zum Schnittpunkt erhält man, indem man in die Geradengleichung von einsetzt:
   Der gemeinsame Schnittpunkt der Ebenen lautet .

   Alternativer Weg
   Es können auch alle drei Ebenengleichungen als Gleichungssystem geschrieben werden:

   Dieses wird nun auf Stufenform gebracht:
   Nun kann der Schnittpunkt direkt berechnet werden:
   Der Schnittpunkt der Ebenen ist .

3. Ein Punkt ist in jeder Ebene der Ebenenschar enthalten, wenn in keiner seiner Koordinaten der Parameter auftaucht.
   Betrachtet man die Ebenengleichungen, so sieht man, dass genau dann wegfällt, wenn gilt. Das heißt, alle Punkte mit , welche die Gleichung erfüllen, liegen in allen Ebenen des Ebenenbüschels.
   Man wählt für zwei unterschiedliche Werte, und berechnet , um zwei Punkte zu erhalten:

   Die gesuchte Gerade erhält man, indem man einen der Punkte als Stützpunkt und den Verbindungsvektor von beiden als Richtungsvektor wählt. Eine Geradengleichung der gesuchten Gerade ist damit gegeben durch: