Abi Bayern Probeabitur Geometrie B1

Aufgabe

Aufgabe 1

In der modernen Kunst spielen neben den klassischen Gemälden und Skulpturen auch mehrere Formen von "Installationen"eine Rolle. Installationen sind Anordnungen von Gegenständen, oft auch zusammen mit einer bestimmten Beleuchtung und Ton- oder Videoeinspielungen. Für den Aufbau der Installation "Frau Fabers Wohnzimmer"sind folgende Eckdaten gegeben: Stellen die -Ebene den Boden und die - bzw. -Ebenen zwei der Wände dar, so befinden sich die Ecken eines Tetraeders bezüglich der dadurch festgesetzten Raumecke im Ursprung in den Punkten , , und . Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter.

1. Die Decke des Raumes ist fünf Meter hoch. Drei Meter von jeder Wand entfernt ist ein Haken an der Decke angebracht. Dort soll mit einer gerade nach unten verlaufenden ausziehbaren Aluminiumstange das Tetraeder befestigt werden. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden, die die Aluminiumstange enthält.
   (3 BE)

Die Seitenwand des Tetraeders besteht aus einer Spiegelfläche. Im Punkt steht ein Laser, der in die Richtung weist und auf diese Seitenwand trifft.

2. Zeigen Sie, dass die Spiegelfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist und berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
   (4 BE)
3. Zeigen Sie, dass der Laserstrahl auf die Spiegelfläche trifft und bestimmen Sie die Geradengleichung des reflektierten Lichtstrahls.
   (8 BE)

Aufgabe 2

An der Stelle wird eine Kugel mit einem Radius von einem halben Meter platziert. Zusätzlich wird zwischen den Spurpunkten der Ebene

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Der Haken ist im Punkt an der Decke befestigt. Denn der Abstand zu jeder Wand beträgt laut Aufgabenstellung und die Decke ist hoch. Die Gerade , in welcher die Aluminiumstange verläuft, muss den Punkt enthalten, denn dort ist die Stange befestigt. Dieser Punkt kann damit als Stützvektor der Gerade verwendet werden. Die Gerade verläuft senkrecht zum Fußboden. Dieser entspricht der -Ebene. Der Normalenvektor dieser Ebene ist damit parallel zum Richtungsvektor der Geraden . Eine Geradengleichung der Gerade ist damit gegeben durch:

2. Eckpunkt mit rechtem Winkel

   Zunächst werden die Vektoren bestimmt, entlang derer die Dreieckskanten verlaufen.

   Zwei Vektoren sind genau dann rechtwinklig, wenn ihr Skalarprodukt ist. Daher werden nun paarweise die Skalarprodukte der Vektoren gebildet:
   Damit hat das Dreieck einen rechten Winkel am Eckpunkt .

   Flächeninhalt des Spiegels

   Die Fläche eines Dreiecks berechnet man allgemein mit der Formel:

   Bei einem rechtwinkligen Dreieck kann eine der Katheten als Grundseite und die andere als Höhe verwendet werden. Damit ist der Flächeninhalt gegeben durch
   Da eine Längeneinheit einem Meter entspricht, ist die Spiegelfläche etwa groß.

3. Geradengleichung des Laserstrahls

   Der Laserstrahl verläuft innerhalb der Gerade mit dem Stützpunkt und dem angegebenen Richtungsvektor :

   Den Auftrittspunkt auf dem Spiegel erhält man, indem man den Schnittpunkt der Geraden des Laserstrahls und der Ebene der Seitenwand bestimmt und dann zeigt, dass er innerhalb des Dreiecks der Seitenwand liegt.

   Ebenengleichung der Seitenwand

   Zunächst benötigt man also eine Ebenengleichung der Ebene der Seitenwand . Eine Parameterform der Ebene erhält man mit dem Ortsvektor zu als Stützvektor und den Vektoren und als Spannvektoren:

   Für die Koordinatenform der Ebene bestimmt man zunächst den Normalenvektor zum Beispiel durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
   
   Ein möglicher Normalenvektor der Ebene ist und ein Ansatz für die Koordinatengleichung deshalb:
   Eine Punktprobe mit einem beliebigen Punktes der Ebene, zum Beispiel , liefert :
   Eine Koordinatenform der Ebene lautet somit:

   Schnittpunkt von Gerade und Ebene

   Nun werden die Zeilen der Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt:

   Der berechnete Parameter wird nun in die Geradengleichung eingesetzt. Dies liefert den Schnittpunkt :
   Der Laserstrahl trifft also im Punkt auf die Ebene .

   Lage des Schnittpunktes in der Seitenfläche

   Um zu zeigen, dass auf der Spiegelfläche liegt, benötigt man die Parameterform der Ebene. Allerdings ist dabei darauf zu achten, dass die Richtungsvektoren jeweils den gewählten Stützpunkt als Fußpunkt haben, zum Beispiel mit dem Stützpunkt :

   Der Punkt liegt dann innerhalb des Dreiecks, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
   Zunächst wird der Punkt in die oben angegebene Ebenengleichung eingesetzt:
   Anschließend wird das entstehende Gleichungssystem gelöst:
   Zur Lösung des Gleichungssystems kann das Additionsverfahren genutzt werden:
   Den Wert eingesetzt in liefert . An dieser Stelle muss nicht überprüft werden, ob die Werte auch für die nicht verwendete Gleichung stimmen. Es wurde bereits nachgewiesen, dass der Punkt auf der Ebene liegt. Da die drei Bedingungen erfüllt sind, liegt der Punkt auch in der Dreiecksfläche und der Laser trifft somit auf den Spiegel.

   Alternativer Weg
   Es lässt sich auch direkt ohne Umweg über die Koordinatenform der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene bestimmen. Vorausgesetzt, man hat dann zusätzlich noch Spannvektoren und Stützpunkt geeignet gewählt, erhält man auf diese Art und Weise direkt die Werte für und und kann überprüfen, ob sie die Bedingungen erfüllen:

   Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
   Dieses Gleichungssystem muss mit dem Gaußverfahren auf Stufenform gebracht werden. Diese lautet dann zum Beispiel:
   Aus der unteren Gleichung erhält man direkt . Durch Einsetzen in die mittlere Gleichung ergibt sich und durch Einsetzen beider Ergebnisse in die obere Gleichung . Da die Bedingungen , und für die berechneten Werte und erfüllt sind, liegt der Punkt in der Dreiecksfläche. Seine Koordinaten erhält man, indem man in oder und in die Ebenengleichung von einsetzt.

   Gerade des reflektierten Laserstrahls

   Eine Skizze soll zur Veranschaulichung des Problems dienen:

   Die Gerade des reflektieren Laserstrahl enthält sowohl den Auftrittspunkt des Laserstrahls auf der Spiegelfläche als auch den Spiegelpunkt von . Diese beiden Punkte definieren eine Gerade. Daher wird nun der Spiegelpunkt bestimmt. Diesen erhält man, indem man den Lotfußpunkt von auf der Ebene sucht und dann zum Ortsvektor aus zwei mal den Vektor hinzuaddiert. Der Ortsvektor zum Punkt ist damit ein geeigneter Stützvektor und der Normalenvektor der Ebene ein geeigneter Richtungsvektor für die Gerade :
   Der Schnittpunkt dieser Gerade mit der Ebene ist dann der Lotfußpunkt .
   Dafür werden die Zeilen der Gerade in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt:
   Einsetzen von in liefert den Ortsvektor von :
   Der Ortsvektor zum Spiegelpunkt lautet dann:
   Für die Gerade des reflektierten Lichtstrahls kann man nun den Auftrittspunkt auf dem Spiegel als Stützpunkt und den Verbindungsvektor zwischen und als Richtungsvektor nehmen:

Lösung zu Aufgabe 2

Da die Kugel im Punkt aufliegt und der Radius beträgt, ist ihr Mittelpunkt .
Berührt die Ebene, welche die Lage der Plane bestimmt, die Kugel, dann ist der Abstand des Mittelpunktes der Kugel zu dieser Ebene gleich dem Radius. Den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kann man mit folgender Formel berechnen: