Abi Bayern Probeabitur Geometrie A2

Aufgabe

Aufgabe 1

Gegeben ist die Ebene in ihrer Koordinatenform

1. Zeichnen Sie einen Ausschnitt der Ebene mithilfe der Spurpunkte in ein geeignetes Koordinatensystem.
   (3 BE)
2. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung einer zu parallelen Ebene , welche durch den Punkt verläuft.
   Mögliches Ergebnis:
   (1 BE)

Aufgabe 2

Zwischen die Ebenen und aus Aufgabe 1 soll eine Kugel gelegt werden, sodass diese beiden Ebenen die Kugeloberfläche berühren.

1. Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen und .
   (2 BE)
2. Geben Sie Radius und Mittelpunkt einer solchen Kugel an.
   (3 BE)
3. Beschreiben Sie das geometrische Gebilde, auf dem die Mittelpunkte aller Kugeln liegen, welche diese Bedingung erfüllen.
   (1 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Die Spurpunkte der Ebene erhält man, indem man für jeweils zwei Koordinaten einsetzt und die dritte berechnet. Somit erhält man für den Schnittpunkt mit der -Achse:
   Für den Schnittpunkt mit der -Achse erhält man:
   Der Schnittpunkt mit der -Achse kann berechnet werden als:
   
   Damit kann nun die Ebene mittels Verbindung der Spurpunkte in einem Koordinatensystem veranschaulicht werden.
   
2. Zwei Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander oder gleich sind. Für den Ansatz einer Koordinatenform der Ebene kann also der Normalenvektor von verwendet werden:
   Um zu berechnen, wird eine Punktprobe mit durchgeführt:
   Eine Koordinatenform der Ebene lautet somit: . Multipliziert man die gesamte Gleichung mit , so erhält man das Vergleichsergebnis.

Lösung zu Aufgabe 2

1. Der Abstand von zwei parallelen Ebenen kann berechnet werden, indem man den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene bestimmt. Gesucht ist zum Beispiel der Abstand von zur Ebene . Dieser wird mit dem Lotfußpunktverfahren bestimmt.

   Lotgerade

   Zunächst wird eine Hilfsgerade aufgestellt, welche die Ebene senkrecht durchstößt und den Punkt enthält. Ein geeigneter Richtungsvektor der Geraden ist also der Normalenvektor der Ebene und der Ortsvektor zum Punkt kann als Stützvektor gewählt werden. Die Hilfsgerade hat dann folgende Gleichung:

   Lotfußpunkt

   Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene . Zur Bestimmung von setzt man die Zeilen der Geradengleichung von in ein:

   Einsetzen von in liefert den Ortsvektor zum Lotfußpunkt :
   Der Lotfußpunkt ist somit .

   Abstand der Ebenen

   Der Abstand von zu , und somit der Abstand von und ist die Länge des Verbindungsvektors zwischen und dem Lotfußpunkt :

   Der Abstand der Ebenen und zueinander beträgt somit .

   Alternativer Weg
   Folgende Formel bestimmt den Abstand eines Punktes zu einer Ebene :

   Der Abstand der Ebene zum Spurpunkt von beträgt damit:

2. Radius der Kugel

   Eine Kugel berührt eine Ebene genau dann, wenn der Abstand des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene dem Radius der Kugel entspricht. Laut Aufgabenstellung soll die Kugel zwei zueinander parallele Ebenen berühren. Der Mittelpunkt der Kugel muss damit zu beiden Ebenen denselben Abstand haben. Damit entspricht der Abstand der beiden Ebenen dem Kugeldurchmesser. Die beiden Ebenen haben einen Abstand von Längeneinheiten und damit gilt für den Radius der Kugel:

   Mittelpunkt einer Kugel

   In Teilaufgabe a) wurde der Abstand der beiden Ebenen und mittels Lotfußpunktverfahren berechnet. Hierbei wurde zum Spurpunkt der Ebene der Lotfußpunkt bestimmt. Dieser Punkt hat die Eigenschaft, dass er in der Ebene liegt und von allen Punkten dieser Ebene den kürzesten Verbindungsvektor zum Punkt besitzt. Der Mittelpunkt der Strecke hat dann zur Ebene den Abstand . Weil die Ebenen und parallel sind mit Abstand und zwischen beiden Ebenen liegt, hat dieser Punkt dann auch zur Ebene den Abstand . Es gilt:

3. Es gibt eine Ebene , welche parallel zu den Ebenen und ist und von beiden Ebenen den Abstand hat. Jeder Punkt dieser Ebene ist eine geeignete Wahl für den Mittelpunkt einer Kugel, welche die beiden Ebenen und berührt.