Videolösungen
Aufgabe
Aufgabe 1
Gegeben ist die Ebene
- Zeichnen Sie einen Ausschnitt der Ebene
mithilfe der Spurpunkte in ein geeignetes Koordinatensystem. (3 BE) - Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung einer zu
parallelen Ebene , welche durch den Punkt verläuft.
Mögliches Ergebnis:(1 BE)
Aufgabe 2
Zwischen die Ebenen
- Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen
und . (2 BE) - Geben Sie Radius und Mittelpunkt einer solchen Kugel
an. (3 BE) - Beschreiben Sie das geometrische Gebilde, auf dem die Mittelpunkte aller Kugeln liegen, welche diese Bedingung erfüllen. (1 BE)
Lösung
Lösung zu Aufgabe 1
- Die Spurpunkte der Ebene erhält man, indem man für jeweils zwei Koordinaten
einsetzt und die dritte berechnet. Somit erhält man für den Schnittpunkt mit der -Achse: Für den Schnittpunkt mit der-Achse erhält man: Der Schnittpunkt mit der-Achse kann berechnet werden als:
Damit kann nun die Ebene mittels Verbindung der Spurpunkte in einem Koordinatensystem veranschaulicht werden. - Zwei Ebenen sind parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander oder gleich sind. Für den Ansatz einer Koordinatenform der Ebene
kann also der Normalenvektor von verwendet werden: Umzu berechnen, wird eine Punktprobe mit durchgeführt: Eine Koordinatenform der Ebene lautet somit:. Multipliziert man die gesamte Gleichung mit , so erhält man das Vergleichsergebnis.
Lösung zu Aufgabe 2
-
Der Abstand von zwei parallelen Ebenen kann berechnet werden, indem man den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene bestimmt. Gesucht ist zum Beispiel der Abstand von
zur Ebene . Dieser wird mit dem Lotfußpunktverfahren bestimmt. Lotgerade
Zunächst wird eine Hilfsgerade aufgestellt, welche die Ebene
senkrecht durchstößt und den Punkt enthält. Ein geeigneter Richtungsvektor der Geraden ist also der Normalenvektor der Ebene und der Ortsvektor zum Punkt kann als Stützvektor gewählt werden. Die Hilfsgerade hat dann folgende Gleichung: Lotfußpunkt
Der Lotfußpunkt
ist der Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene . Zur Bestimmung von setzt man die Zeilen der Geradengleichung von in ein: Einsetzen vonin liefert den Ortsvektor zum Lotfußpunkt : Der Lotfußpunkt ist somit. Abstand der Ebenen
Der Abstand von
zu , und somit der Abstand von und ist die Länge des Verbindungsvektors zwischen und dem Lotfußpunkt : Der Abstand der Ebenenund zueinander beträgt somit . Alternativer Weg
Folgende Formel bestimmt den Abstand eines Punkteszu einer Ebene : Der Abstand der Ebenezum Spurpunkt von beträgt damit: -
Radius der Kugel
Eine Kugel
berührt eine Ebene genau dann, wenn der Abstand des Mittelpunktes der Kugel zur Ebene dem Radius der Kugel entspricht. Laut Aufgabenstellung soll die Kugel zwei zueinander parallele Ebenen berühren. Der Mittelpunkt der Kugel muss damit zu beiden Ebenen denselben Abstand haben. Damit entspricht der Abstand der beiden Ebenen dem Kugeldurchmesser. Die beiden Ebenen haben einen Abstand von Längeneinheiten und damit gilt für den Radius der Kugel: Mittelpunkt einer Kugel
In Teilaufgabe a) wurde der Abstand der beiden Ebenen
und mittels Lotfußpunktverfahren berechnet. Hierbei wurde zum Spurpunkt der Ebene der Lotfußpunkt bestimmt. Dieser Punkt hat die Eigenschaft, dass er in der Ebene liegt und von allen Punkten dieser Ebene den kürzesten Verbindungsvektor zum Punkt besitzt. Der Mittelpunkt der Strecke hat dann zur Ebene den Abstand . Weil die Ebenen und parallel sind mit Abstand und zwischen beiden Ebenen liegt, hat dieser Punkt dann auch zur Ebene den Abstand . Es gilt: -
Es gibt eine Ebene
, welche parallel zu den Ebenen und ist und von beiden Ebenen den Abstand hat. Jeder Punkt dieser Ebene ist eine geeignete Wahl für den Mittelpunkt einer Kugel, welche die beiden Ebenen und berührt.