Abi Bayern Probeabitur Analysis B2

Aufgabe

Aufgabe 1

Der Graph einer auf definierten ganzrationalen Funktion dritten Grades besitzt im Ursprung des Koordinatensystems eine Tangente mit der Gleichung .

1. Desweiteren ist ein Wendepunkt von . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion und anschließend die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen.
   Zur Kontrolle:

   (5 BE)

2. Die Abbildung zeigt einen Teil des Graphen .

   
   Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen Sie dabei Ihre Entscheidung.

   (I) Der Graph der Ableitungsfunktion hat an der Stelle eine Nullstelle.
   (II) Die Graphen aller Stammfunktion von haben einen Sattelpunkt.
   (III) Die Graphen aller Stammfunktionen haben bei eine Nullstelle.
   (IV) Der Graph der Ableitungsfunktion ist im Bereich monoton fallend.

   (4 BE)

3. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion , deren Graph man erhält, wenn man den Graphen der Funktion an der -Achse spiegelt. Zeichnen Sie den Graphen dieser Funktion im Intervall in das Koordinatensystem ein.

   (2 BE)

Die Graphen und beschreiben im Intervall den Umriss eines Sees auf einer Karte. Eine Längeneinheit entspricht dabei einhundert Metern. Die -Achse zeigt nach Norden.

4. Bestimmen Sie die längste Strecke, die zurückgelegt werden muss, wenn man den See in Nord-Süd-Richtung durchqueren möchte.
   (4 BE)

Der See wird durch eine Bojenlinie in zwei Teilstücke zerlegt. Der westliche Teil des Sees dient als Naturschutzgebiet diversen Vögeln als Brutstätte und Refugium. Der östliche Teil der Fläche darf von Schwimmern genutzt werden.
Die Bojenlinie wird zwischen den Punkten und gespannt und in gleichmäßigen Abständen von drei Bojen unterteilt.

5. Bestimmen Sie die Länge der Leine und die Koordinaten der Bojen. Unter welchem Winkel trifft die Leine im Punkt auf das Seeufer?
   (4 BE)
6. Bestimmen Sie den Anteil der Seefläche, der den Schwimmern zur Verfügung steht.
   (6 BE)

Die Station der Badeaufsicht befindet sich Meter vom Ufer entfernt und ist auf kürzestem Weg durch einen kleinen abgesperrten Weg mit dem Aufsichtsturm im Punkt , dem Rettungsweg, verbunden.

7. Zeichnen Sie sowohl den Aufsichtsturm als auch den Rettungsweg in die Zeichnung ein.
   (2 BE)
8. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion, auf welcher der Rettungsweg liegt und berechnen Sie den Punkt, an dem sich die Wasserrettungsstation befindet.
   (6 BE)

Aufgabe 2

Die städtische Verwaltung hat zum 1. Januar festgelegt, dass der See im Stadtwald für die Mitglieder des örtlichen Angelvereins "Angelhelden" zum Forellenfischen freigegeben werden soll. Derzeit angeln die Mitglieder noch in den künstlichen Forellenteichen des Nachbarvereins. Die Bedingungen der Stadt für die Angelfreigabe lauten folgendermaßen: Der Verein muss dem Nachbarverein nicht weniger als Forellen abkaufen, die in den See entlassen werden sollen.

Der Nachbarverein hat im letzten Jahr (Beobachtungsbeginn im Januar ist ) seine Forellenbestände zu Beginn jeden Monats erfasst und die Zahlen in folgender Tabelle festgehalten.

1. Bestimmen Sie mit den Werten vom letzten Januar und letzten Mai die Werte für und in diesem Modell. Runden Sie dabei auf zwei Nachkommastellen.
   Zur Kontrolle:
   (2 BE)
2. In welchem Monat erlaubt der Fischbestand erstmals den Verkauf der geforderten Forellen, wenn das Modell akzeptiert ist und die Vorjahresdaten zur Kalkulation verwendet werden?
   (4 BE)
3. Warum ist das Modell nicht geeignet, um langfristig die Anzahl der Forellen in den Teichen anzugeben?
   (1 BE)

Lösung

Lösung zu Aufgabe 1

1. Funktionsgleichung

   Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat folgende allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen:

   Laut Aufgabenstellung hat die Tangente an im Ursprung des Koordinatensystems die Gleichung . Der Punkt liegt also auf dem Graphen und es muss gelten:
   Die Steigung der Tangente am Punkt entspricht dem Wert der ersten Ableitung von an der Stelle . Also:
   Der Punkt ist ein Wendepunkt von . Somit muss gelten
   Diese vier Bedingungen führen in der angeführten Reihenfolge zu folgendem Gleichungssystem:
   Aus der ersten Gleichung folgt direkt und aus der zweiten . Setzt man beides in die verbleibenden Gleichungen ein, erhält man zwei Gleichungen mit zwei Variablen:
   Damit ergibt sich:
   Nun wird das lineare Gleichungssystem gelöst:
   Einsetzen von in eine der beiden Gleichungen, z.B. , liefert dann:
   Die Funktionsgleichung der Funktion lautet somit

   Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

   Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass der Graph durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft. Damit ist der Schnittpunkt mit der -Achse der Punkt und dieser auch ein Schnittpunkt mit der -Achse.
   Die weiteren Schnittstellen mit der -Achse erhält man durch Lösen der Gleichung . Dabei lässt sich zunächst ein ausklammern:

   Nach dem Satz vom Nullprodukt sind die Lösungen dieser Gleichung gegeben durch:
   Mithilfe der Mitternachtsformel können die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmt werden:
   Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind also gegeben durch:

2. (I) Falsch: Der Wert der Ableitungsfunktion gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an. Der Graph hat an der Stelle eine negative Steigung. Falls die Steigung Null wäre, müsste der Graph an dieser Stelle ein Extremum oder einen Sattelpunkt haben.
   (II) Richtig: Wenn der Graph einer Funktion einen Sattelpunkt besitzt, so hat der Graph der Ableitungsfunktion an dieser Stelle eine doppelte Nullstelle bzw. einen Berührpunkt mit der -Achse (und umgekehrt). Dort liegt sowohl eine Nullstelle, als auch ein Extremum vor. Da dies bei der Fall ist, werden die Graphen aller Stammfunktionen von an dieser Stelle einen Sattelpunkt aufweisen.
   (III) Falsch: Aus dem Verlauf des Graphen von kann nicht generell auf Nullstellen der Stammfunktionen geschlossen werden. Stammfunktionen sind nur bis auf eine Konstante bestimmt. Es gibt also eine Stammfunktion, deren Graph an der Stelle eine Nullstelle hat, aber auch beliebig viele andere Stammfunktionen, deren Graphen an dieser Stelle keine Nullstelle haben. Somit haben nicht alle Stammfunktionen bei eine Nullstelle.
   (IV) Richtig: Die Funktion ist dritten Grades, die Ableitungsfunktion hat also Grad . Da der Graph bei einen Wendepunkt mit negativer Steigung aufweist, hat der Graph der Funktion dort einen Tiefpunkt. Dieser ist das einzige Extremum. Demnach ist der Graph im Bereich von monoton fallend.

3. Der Graph der Funktion entsteht aus dem Graphen der Funktion durch Spiegelung an der -Achse. Die Funktionsgleichung der Funktion erhält man dann durch: . Es gilt also:

   Folgendes Schaubild zeigt beide Graphen in einem Koordinatensystem.

4. Die größte Strecke in Nord-Süd-Richtung ist die Strecke zwischen dem Hochpunkt von und dem Tiefpunkt von .

   Hochpunkt

   Zunächst werden die ersten beiden Ableitungen der Funktion bestimmt:

   Nun werden die Nullstellen von bestimmt:
   Die Lösungen dieser Gleichung sind gegeben durch:
   Damit sind die Lösungen der Gleichung gegeben durch:
   Mithilfe der zweiten Ableitung wird überprüft, um welche Art von Extremum es sich handelt:
   Jetzt wird noch die -Koordinate des Hochpunktes berechnet:
   Da die Graphen der Funktionen und spiegelbildlich zur -Achse sind, kann man den Tiefpunkt der Funktion direkt angeben: . Die gesuchte Strecke ist dann der Abstand zwischen den beiden Punkten.
   Da eine Längeneinheit auf der Karte Meter entspricht, hat die längstmögliche Seedurchquerung in Nord-Süd-Richtung eine Länge von .

   Alternativer Weg
   Die Art des Extremums kann auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium überprüft werden. Es gelten:

   Damit hat die Funktion an der Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach und somit hat der Graph bei einen Hochpunkt. An der Stelle hat die Funktion eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach . Damit hat der Graph an dieser Stelle einen Tiefpunkt. Der Hochpunkt von ist damit gegeben durch . Wegen gilt .

5. Länge der Leine

   Die Leine wird an den Punkten und befestigt. Zunächst werden die vollständigen Koordinaten von bestimmt:

   Der Abstand zwischen zwei Punkten und kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:
   In diesem Fall also:
   Da eine Längeneinheit hundert Metern entspricht, hat die Leine eine Länge von ungefähr .

   Alternativer Weg
   Man könnte auch im Analysisteil Elemente der Analytischen Geometrie verwenden. Der Abstand der beiden Punkte und entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors:

   Da eine Längeneinheit hundert Metern entspricht, hat die Leine eine Länge von ungefähr .

   Koordinaten der Bojen

   Es wird also eine Strecke von drei Objekten/Punkten in 4 gleich große Teile zerlegt. Der Mittelpunkt der Strecke teilt sie dabei zunächst in zwei gleichgroße Hälften. Die Mittelpunkte der beiden Teilstrecken teilen diese dann auch wieder in der Mitte.

   
   Um die Koordinaten der mittleren Boje zu berechnen, bestimmt man also den Mittelpunkt der Strecke zwischen und . Den Mittelpunkt einer Strecke zwischen zwei Punkten und ist gegeben durch
   Die Koordinaten von lauten somit:
   Die Boje befindet sich in der Mitte der Strecke zwischen und , somit:
   Die Boje befindet sich in der Mitte der Strecke zwischen und , somit:

   Alternativer Weg
   Auch diese Aufgabe lässt sich vektorgeometrisch lösen. Den Ortsvektor zur Boje kann man wie folgt berechnen:

   Also . Die anderen Punkte erhält man dann auf die gleiche Art und Weise.

   Winkel zwischen Leine und Ufer

   Der Verlauf der Bojenkette kann durch den Graphen einer Geraden beschrieben werden. Die Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form . Die Bojenlinie wird begrenzt durch die Punkte und . Für die Steigung gilt dann:

   Der Schnittwinkel zwischen den Graphen der Funktionen und ist der Schnittwinkel der Tangenten in . Weil die Tangente an in waagrecht verläuft und somit parallel zur -Achse, ist der Schnittwinkel gegeben durch
   und damit:

6. Flächeninhalt der Gesamtfläche

   Die Gesamtoberfläche des Sees lässt sich als Fläche zwischen den Graphen und im Intervall berechnen. Die Fläche zwischen zwei Graphen entspricht dem Wert des Integrals der Differenzfunktion. Hierbei werden die -Werte der Schnittpunkte als Integralgrenzen verwendet.

   Die Gesamtfläche des Sees beträgt also Flächeneinheiten. Eine Längeneinheit entspricht , damit entspricht eine Flächeneinheit . Der See hat also eine Gesamtfläche von .

   Flächeninhalt der Schwimmfläche

   Zunächst verdeutlicht eine Skizze, welche Fläche dem Schwimmbereich entspricht.

   Die Fläche des Schwimmbereichs lässt sich, wie im Schaubild zu erkennen, in zwei Teilflächen unterteilen. Die Fläche ist dabei die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen , also der Bojenkette, und im Intervall . Die Fläche ist die Fläche zwischen den Graphen von und im Intervall . Somit ergibt sich für den Schwimmbereich:
   Die Fläche lässt sich analog zu oben, nur mit veränderter unterer Grenze, direkt berechnen:
   Für die Fläche muss zunächst die Funktionsgleichung der Bojenleinenfunktion ermittelt werden. Dabei handelt es sich, wie aus der vorangegangenen Teilaufgabe bekannt, um eine lineare Funktion. Es gilt also , wobei in der vorigen Aufgabe auch schon ermittelt wurde, dass gilt . Um den -Achsenabschnitt auszurechnen, wird nun eine Punktprobe mit durchgeführt:
   Somit hat die Bojenlinie folgende Funktionsgleichung
   Damit kann die Fläche nun berechnet werden:
   Für die Schwimmfläche gilt:
   Damit beträgt der Flächeninhalt der Schwimmfläche ungefähr .

   Anteil der Schwimmfläche an der Gesamtfläche

   Der Anteil der Schwimmfläche an der Gesamtfläche ist gegeben durch:

   Der Anteil der für Schwimmer zugelassenen Fläche des Sees beträgt also etwa .

7. Zeichnung

   Zunächst wird zusätzlich zu den Graphen und der Aufsichtsturm im Punkt eingezeichnet. Die Station der Badeaufsicht ist Meter vom Ufer entfernt, dies entspricht Längeneinheiten, und auf kürzestem Weg mit dem Aufsichtsturm verbunden. Der Weg zwischen Station und Aufsichtsturm muss folglich senkrecht auf der Tangente an den Graphen am Aufsichtsturm stehen.
   Somit ergibt sich folgende Skizze.

8. Bestimmung der Gleichung des Rettungsweges

   In der vorangegangenen Teilaufgabe g) wurde begründet, dass die Station auf der Normalen an den Graphen im Punkt liegen muss. Um die Steigung der Normalen in zu bestimmen, benötigt man zunächst die Steigung der Tangente in . Es gilt:

   Die Steigung der Normalen erhält man dann mit der Formel :
   Den -Achsenabschnitt der Normalen erhält man, indem man nun in die allgemeine Geradengleichung die errechnete Steigung und die Koordinaten von einsetzt:
   Die Gleichung der Normalen, die den Rettungsweg beschreibt, lautet somit:

   Bestimmung der Koordinaten der Station

   Zur Veranschaulichung nochmal eine kleine Skizze.

   Das Steigungsdreieck zwischen den Punkten und ist ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Kathete hat die Länge und die andere Kathete hat die Länge . Der Abstand des Aufsichtsturmes vom Ufer beträgt , das entspricht Längeneinheiten. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich folgender Ansatz:
   Da der Punkt auf der Normalen liegt, gilt für die -Koordinate:
   Somit muss nun folgende Gleichung nach aufgelöst werden:
   Die Lösungen der Gleichung können mit der Mitternachtsformel bestimmt werden:
   Relevant ist in diesem Kontext nur . Für läge die Wasserrettungsstation mitten im See. Mit der Gleichung der Normalen berechnet man dann noch die -Koordinate der Station:
   Somit befindet sich die Station im Punkt .

Lösung zu Aufgabe 2

1. Januar ist der Beginn des Beobachtungszeitraumes, also der Zeitpunkt . Somit muss die Gleichung die Bedingung erfüllen. Anfang Mai sind Monate seit Beobachtungsbeginn vergangen, also muss gelten . Somit:
   Da die erste Gleichung direkt den Wert für liefert, kann man diesen nun in Gleichung einsetzen und berechnen:
   Somit lautet die gesuchte Funktionsgleichung .
2. Der Nachbarverein wird die Forellen verkaufen, wenn Forellen in den künstlichen Teichen sind. Denn dann können Forellen verkauft werden und bleiben im eigenen Bestand. Gesucht ist also der Zeitpunkt , an dem die Forellenzahl ist:
   Nach diesem Modell werden ungefähr Monate nach Beobachtungsbeginn die Fische verkauft. Dies entspricht dem Juli diesen Jahres.
3. Die Funktionsgleichung beschreibt ein exponentielles Wachstum. Die Anzahl der Fische würde in diesem Modell also stets zunehmen. Allerdings ist die Anzahl der Fische sowohl durch das begrenzte Nahrungsangebot als auch das begrenzte Platzangebot beschränkt.