Abi Bayern Probeabitur Analysis B1

Aufgabe

In gewissen Wüstenregionen existieren Flüsse, die nur einige Wochen nach Beginn der Regenzeit Wasser führen. Die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers wird für diesen Zeitraum beschrieben durch die Funktion

1. Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
   (12 BE)
2. Bestimmen Sie den Verlauf des Graphen für und erläutern Sie den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang.
   (5 BE)
3. Durch die engste Stelle des Flusses können höchstens Millionen Kubikmeter pro Tag fließen. Überprüfen Sie, ob der Fluss an dieser Stelle irgendwann nach Beginn der Regenzeit über die Ufer tritt.
   (3 BE)
4. Berechnen Sie das Integral
   unter Verwendung einer Stammfunktion und erläutern Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
   (7 BE)

Die Durchflussgeschwindigkeit soll nun für die ersten Tage nach Beginn der Regenzeit durch eine quadratische Funktion genähert werden. Dazu werden der Punkt und der Punkt als Scheitelpunkt der Näherungsparabel verwendet.

5. Bestimmen Sie die Gleichung der Näherungsfunktion.
   (7 BE)
6. Es gilt ohne Nachweis
   Beurteilen Sie hiermit die Güte der Näherungsfunktion.
   (6 BE)

Lösung

1. Zunächst werden die Ableitungen der Funktion mithilfe der Produkt- und Kettenregel gebildet:

   Alternativer Weg
   Der Funktionsterm wird ausmultipliziert und anschließend abgeleitet. Es gilt:

   und damit:

   Bestimmung der Extrema

   Hierzu werden die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt:

   Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren ist. Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, kann nur der Term in der Klammer Null werden:
   Anwenden der Logarithmusfunktion auf beiden Seiten liefert:
   Nun muss noch überprüft werden, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Hierzu wird der berechnete Wert in die zweite Ableitung eingesetzt:
   An der Stelle hat der Graph von also einen Hochpunkt.

   Berechnung der -Koordinate des Hochpunkts liefert:

   Der Hochpunkt hat somit die Koordinaten
   also näherungsweise .

   Wendepunkte

   Hierzu werden zunächst die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmt:

   Da die -Funktion nie Null wird, sind die Nullstellen der Funktion durch die Nullstellen der Funktion in der Klammer gegeben:
   Indem man auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus anwendet, erhält man:
   Nun wird überprüft, ob an der Stelle tatsächlich eine Wendestelle vorliegt:
   Der Graph der Funktion hat also an der Stelle einen Wendepunkt. Die Berechnung der -Koordinate des Wendepunktes liefert:
   Der Wendepunkt hat somit die Koordinaten
   also näherungsweise .

   Zeichnung des Graphen

   Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, kann die Wertetabellenfunktion des Taschenrechners hinzugezogen werden.

2. Zunächst wird das Verhalten für der einzelnen Terme bestimmt. Es gelten:

   Damit ergibt sich mit den Rechenregeln für Grenzwerte:
   Es gilt also:
   Der Fluss würde gemäß diesem Modell langfristig austrocknen, sofern keine Regenzeiten folgen.

3. Die Funktion gibt die Durchflussgeschwindigkeit an, und es ist zu überprüfen, ob diese irgendwann über 0,5 steigt. Es ist also nach dem globalem Hochpunkt gefragt.

   Daher vergleicht man die Funktionswerte der Definitionsränder bzw. das langfristige Verhalten mit dem Funktionswert des Hochpunktes

   Die Funktion ist für definiert und strebt für gegen .

   Es ist damit nur noch der Randwert zu überprüfen. Dieser ist .

   Somit ist der lokale Hochpunkt auch der globale Hochpunkt. Der Fluss tritt nicht über die Ufer, da dessen Funktionswert kleiner als ist.

4. Zunächst bestimmt man eine Stammfunktion von . Hierfür wird der Funktionsterm ausmultipliziert:

   Für die Bildung der Stammfunktion kann man die Regel der linearen Verkettung (siehe Merkhilfe) nutzen:
   Damit lässt sich nun das bestimmte Integral berechnen:
   Da die Funktion die Durchflussgeschwindigkeit angibt, liefert das Integral über die Funktion die im angegebenen Zeitintervall durch den Fluss fließende Wassermenge. In diesem Fall also die Menge an Wasser (in Millionen Kubikmeter), die zwischen und , also zwischen dem 4. und 18. Tag durch den Fluss fließt.

5. Eine allgemeine Gleichung einer quadratischen Funktion und die ihrer Ableitung lauten:

   Der Punkt liegt auf dem Graphen der Funktion , also muss gelten
   Der Punkt liegt ebenfalls auf der Funktion, also muss gelten:
   Er ist zudem der Scheitelpunkt, also ein Extrempunkt, daher muss die erste Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle haben:
   Einsetzen dieser Werte liefert die drei Gleichungen des nun zu lösenden Gleichungssystems zur Bestimmung der Koeffizienten , und .
   Aus der ersten Gleichung folgt direkt . Einsetzen in die anderen Gleichungen liefert:
   Einsetzen von in liefert
   Der Funktionsterm der gesuchten Funktion ist damit gegeben durch:

   Alternativer Weg
   Die Funktion ist eine Parabel mit Scheitel im Punkt . Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch

   Zur Berechnung des Parameters wird nun noch eine Punktprobe mit durchgeführt:
   Die Funktion besitzt also die folgende Gleichung:

6. Das angegebene Integral gibt die Wassermenge an, die in den ersten sieben Tagen nach Beobachtungsbeginn durch den Fluss fließt.
   Dieser Wert wird nun auch für die Näherungsfunktion bestimmt und mit dem vorgegebenen Wert bezüglich der Funktion verglichen:

   Alternativer Weg
   Es gilt:

   Die relative Abweichung des Näherungswertes vom tatsächlichen Wert ist gegeben durch
   Die Abweichung liegt also bei ungefähr . Die Wassermenge, welche in den ersten Tagen durch den Fluss fließt, kann also durch die Näherungsfunktion sehr gut beschrieben werden.